Завдання № 13.8. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Діагональ паралелограма дорівнює $8 см$ і утворює кути $3 7^{\circ}$ і $4 2^{\circ}$ зі сторонами паралелограма. Знайдіть кути і сторони паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано паралелограм $A B C D$ , у якому проведено діагональ $A C = 8 см$ . За умовою кути між діагоналлю та сторонами дорівнюють $∠ B A C = 3 7^{\circ}$ і $∠ C A D = 4 2^{\circ}$ .

1. Знаходження кутів паралелограма

Кут $B A D$ складається з двох кутів:

∠ A = ∠ B A D = ∠ B A C + ∠ C A D = 3 7^{\circ} + 4 2^{\circ} = 7 9^{\circ}

За властивістю протилежних кутів паралелограма:

∠ C = ∠ A = 7 9^{\circ}

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює $18 0^{\circ}$ (як сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих $A B ∥ C D$ і січній $A D$ ):

∠ B = ∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ A = 18 0^{\circ} - 7 9^{\circ} = 10 1^{\circ}

2. Знаходження сторін паралелограма

Розглянемо трикутник $A B C$ .
Оскільки $B C ∥ A D$ , то кути $∠ B C A$ та $∠ C A D$ є внутрішніми різносторонніми при січній $A C$ , отже:

∠ B C A = ∠ C A D = 4 2^{\circ}

За теоремою синусів для трикутника $A B C$ :

\frac{A C}{sin ∠ B} = \frac{A B}{sin ∠ B C A} = \frac{B C}{sin ∠ B A C}

Звідси виразимо довжину сторони $A B$ :

A B = \frac{A C \cdot sin ∠ B C A}{sin ∠ B} = \frac{8 \cdot sin 4 2 ^{\circ}}{sin 10 1 ^{\circ}}

Скористаємося формулою зведення $sin 10 1^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 7 9^{\circ}) = sin 7 9^{\circ}$ та значеннями тригонометричних функцій ( $sin 4 2^{\circ} \approx 0, 6691$ , $sin 10 1^{\circ} \approx 0, 9816$ ):

A B \approx \frac{8 \cdot 0 , 6691}{0 , 9816} = \frac{5 , 3528}{0 , 9816} \approx 5, 5 см

Виразимо довжину сторони $B C$ ( $sin 3 7^{\circ} \approx 0, 6018$ ):

B C = \frac{A C \cdot sin ∠ B A C}{sin ∠ B} = \frac{8 \cdot sin 3 7 ^{\circ}}{sin 10 1 ^{\circ}} \approx \frac{8 \cdot 0 , 6018}{0 , 9816} = \frac{4 , 8144}{0 , 9816} \approx 4, 9 см

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, маємо:

C D = A B \approx 5, 5 см, A D = B C \approx 4, 9 см

Відповідь: кути паралелограма дорівнюють $7 9^{\circ}$ , $10 1^{\circ}$ , $7 9^{\circ}$ , $10 1^{\circ}$ ; сторони паралелограма приблизно дорівнюють $5, 5 см$ і $4, 9 см$ .

Завдання № 13.8. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку