Завдання № 13.7. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона паралелограма дорівнює $7\text{ см}$ і утворює з його діагоналлю $8\text{ см}$ кут $67^{\circ }$. Знайдіть другу сторону паралелограма та його кути.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якому сторона $AB=7\text{ см}$, діагональ $BD=8\text{ см}$ та кут між ними $\angle ABD=67^{\circ }$.

1. Знаходження другої сторони паралелограма

Розглянемо трикутник $△ABD$. За теоремою косинусів знайдемо невідому сторону $AD$:
$A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos \angle ABD$

Підставимо числові дані ($AB=7\text{ см}$, $BD=8\text{ см}$, $\cos 67^{\circ }\approx 0,3907$):
$AD=\sqrt{7^2+8^2-2\cdot 7\cdot 8\cdot \cos 67^{\circ }}$
$AD=\sqrt{49+64-112\cdot 0,3907}=\sqrt{113-43,7584}=\sqrt{69,2416}\approx 8,3\text{ см}$

Отже, друга сторона паралелограма дорівнює приблизно $8,3\text{ см}$ (оскільки у паралелограма протилежні сторони рівні, $BC=AD\approx 8,3\text{ см}$).

2. Знаходження кутів паралелограма

Для обчислення кута $A$ застосуємо теорему синусів у трикутнику $△ABD$:
$\frac{BD}{\sin \angle A}=\frac{AD}{\sin \angle ABD}$

Звідси виразимо $\sin \angle A$:
$\sin \angle A=\frac{BD\cdot \sin 67^{\circ }}{AD}$

Враховуючи, що $\sin 67^{\circ }\approx 0,9205$:
$\sin \angle A\approx \frac{8\cdot 0,9205}{8,3}=\frac{7,364}{8,3}\approx 0,8872$

У трикутнику $△ABD$ проти більшої сторони $AD\approx 8,3\text{ см}$ лежить більший кут $\angle ABD=67^{\circ }$. Оскільки $BD=8\text{ см}<AD$, кут $\angle A$ менший за $67^{\circ }$, тобто він є гострим:
$\angle A\approx 63^{\circ }$

За властивостями паралелограма:

• Протилежні кути рівні:
  $\angle C=\angle A\approx 63^{\circ }$
• Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$:
  $\angle B=\angle D=180^{\circ }-\angle A\approx 180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }$

Відповідь:
Друга сторона $AD\approx 8,3\text{ см}$; кути паралелограма: $63^{\circ }$, $117^{\circ }$, $63^{\circ }$, $117^{\circ }$.