Завдання № 13.6. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці (кути знайдіть із точністю до градуса), та розшифруйте назву міста в Київській області, у якому народилася видатна українська поетеса Ліна Костенко.

Відповідність кутів і літер:

Покроковий розв’язок:

Для обчислення кутів трикутника за трьома відомими сторонами скористаємося теоремою косинусів:
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha ⟹\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}$

1. Розв’язування першого трикутника:

Дано: $AB=3\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$.

Знайдемо кут $A$ за теоремою косинусів:
$\cos \angle A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{9+25-49}{30}=\frac{-15}{30}=-0,5$
Оскільки $\cos \angle A=-0,5$, то:
$\angle A=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$
Отже, куту $\approx 120^{\circ }$ відповідає літера В.

Знайдемо кут $B$ за теоремою косинусів:
$\cos \angle B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{3^2+7^2-5^2}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{9+49-25}{42}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14}\approx 0,7857$
$\angle B\approx 38^{\circ }$
Отже, куту $\approx 38^{\circ }$ відповідає літера И.

Знайдемо кут $C$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)\approx 180^{\circ }-(120^{\circ }+38^{\circ })=22^{\circ }$
Отже, куту $\approx 22^{\circ }$ відповідає літера Р.

2. Розв’язування другого трикутника:

Дано: $AB=10\text{ см}$, $AC=6\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$.

Знайдемо кут $A$ за теоремою косинусів:
$\cos \angle A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{10^2+6^2-7^2}{2\cdot 10\cdot 6}=\frac{100+36-49}{120}=\frac{87}{120}=0,725$
$\angle A\approx 44^{\circ }$
Отже, куту $\approx 44^{\circ }$ відповідає літера Щ.

Знайдемо кут $B$ за теоремою косинусів:
$\cos \angle B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{10^2+7^2-6^2}{2\cdot 10\cdot 7}=\frac{100+49-36}{140}=\frac{113}{140}\approx 0,8071$
$\angle B\approx 36^{\circ }$
Отже, куту $\approx 36^{\circ }$ відповідає літера Ж.

Знайдемо кут $C$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)\approx 180^{\circ }-(44^{\circ }+36^{\circ })=100^{\circ }$
Отже, куту $\approx 100^{\circ }$ відповідає літера І.

3. Складання назви міста:

Впорядкуємо отримані значення за заданою таблицею:

• $22^{\circ }\to \text{Р}$
• $36^{\circ }\to \text{Ж}$
• $38^{\circ }\to \text{И}$
• $44^{\circ }\to \text{Щ}$
• $100^{\circ }\to \text{І}$
• $120^{\circ }\to \text{В}$

Отримуємо слово: РЖИЩІВ.

Відповідь:

1) Для першого трикутника: $\angle A=120^{\circ }$, $\angle B\approx 38^{\circ }$, $\angle C\approx 22^{\circ }$.

2) Для другого трикутника: $\angle A\approx 44^{\circ }$, $\angle B\approx 36^{\circ }$, $\angle C\approx 100^{\circ }$.
Назва міста: Ржищів.