Завдання № 13.5. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці (знайдіть невідомі кути трикутників із точністю до градуса), та розшифруйте прізвище українського борця греко-римського стилю, олімпійського чемпіона 2020 року:

Розв’яжіть $△ A B C$ за трьома сторонами	$∠ A$	$∠ B$	$∠ C$
$A B = 3 см, A C = 8 см, B C = 7 см$	Н	Ю	Б
$A B = 9 см, A C = 8 см, B C = 13 см$	К	Е	Л

Кодування для розшифрування:
$\approx 2 2^{\circ}$ — Б; $\approx 3 7^{\circ}$ — Е; $\approx 4 3^{\circ}$ — Л; $\approx 3 7^{\circ}$ — Е; $6 0^{\circ}$ — Н; $\approx 9 8^{\circ}$ — Ю; $\approx 10 0^{\circ}$ — К.

Покроковий розв’язок:

Для обчислення кутів трикутника за відомими трьома сторонами скористаємося теоремою косинусів:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos α ⟹ cos α = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 \cdot b \cdot c}$

1. Розв’язування першого трикутника:
Дано: $A B = 3 см$ , $A C = 8 см$ , $B C = 7 см$ .

1) Знайдемо кут $A$ (буква Н):

cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{3 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{9 + 64 - 49}{48} = \frac{24}{48} = 0, 5

Оскільки $cos ∠ A = 0, 5$ , маємо:
$∠ A = 6 0^{\circ}$

2) Знайдемо кут $B$ (буква Ю):

cos ∠ B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{3 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{9 + 49 - 64}{42} = \frac{- 6}{42} = - \frac{1}{7} \approx - 0, 1429

За таблицями тригонометричних функцій або за допомогою калькулятора:
$∠ B \approx 9 8^{\circ}$

3) Знайдемо кут $C$ (буква Б) за теоремою про суму кутів трикутника:
$∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ B) \approx 18 0^{\circ} - (6 0^{\circ} + 9 8^{\circ}) = 2 2^{\circ}$

2. Розв’язування другого трикутника:
Дано: $A B = 9 см$ , $A C = 8 см$ , $B C = 13 см$ .

1) Знайдемо кут $A$ (буква К):

cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{9 ^{2} + 8 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{81 + 64 - 169}{144} = \frac{- 24}{144} = - \frac{1}{6} \approx - 0, 1667

Звідси:
$∠ A \approx 10 0^{\circ}$

2) Знайдемо кут $B$ (буква Е):

cos ∠ B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{9 ^{2} + 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 13} = \frac{81 + 169 - 64}{234} = \frac{186}{234} = \frac{31}{39} \approx 0, 7949

Звідси:
$∠ B \approx 3 7^{\circ}$

3) Знайдемо кут $C$ (буква Л):

cos ∠ C = \frac{A C ^{2} + B C ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C} = \frac{8 ^{2} + 1 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 13} = \frac{64 + 169 - 81}{208} = \frac{152}{208} = \frac{19}{26} \approx 0, 7308

Звідси:
$∠ C \approx 4 3^{\circ}$

Перевіримо суму кутів:
$10 0^{\circ} + 3 7^{\circ} + 4 3^{\circ} = 18 0^{\circ}$

3. Розшифрування прізвища:
Співставимо обчислені значення кутів із буквами:

$\approx 2 2^{\circ}$ відповідає букві Б
$\approx 3 7^{\circ}$ відповідає букві Е
$\approx 4 3^{\circ}$ відповідає букві Л
$\approx 3 7^{\circ}$ відповідає букві Е
$6 0^{\circ}$ відповідає букві Н
$\approx 9 8^{\circ}$ відповідає букві Ю
$\approx 10 0^{\circ}$ відповідає букві К

Отримане слово: БЕЛЕНЮК.

Відповідь:

1) Для першого трикутника: $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B \approx 9 8^{\circ}$ , $∠ C \approx 2 2^{\circ}$ .

2) Для другого трикутника: $∠ A \approx 10 0^{\circ}$ , $∠ B \approx 3 7^{\circ}$ , $∠ C \approx 4 3^{\circ}$ .
Прізвище олімпійського чемпіона: БЕЛЕНЮК.

Завдання № 13.5. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку