Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Розв’яжіть △ABC за стороною і двома кутами:
1) AC=5 см, ∠A=150∘, ∠C=8∘;
2) BC=4 см, ∠B=108∘, ∠A=23∘;
3) AB=12 см, ∠B=56∘, ∠C=94∘;
4) AC=9 см, ∠A=63∘, ∠C=67∘.
Покроковий розв’язок:
Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути. Для цього використаємо теорему про суму кутів трикутника та теорему синусів:
sinAa=sinBb=sinCc
1. Розв’язання для випадку AC=5 см, ∠A=150∘, ∠C=8∘
Знайдемо невідомий кут ∠B за теоремою про суму кутів трикутника:
∠B=180∘−(∠A+∠C)=180∘−(150∘+8∘)=180∘−158∘=22∘
За теоремою синусів:
sin∠BAC=sin∠ABC=sin∠CAB
Знайдемо сторону BC:
BC=sin∠BAC⋅sin∠A=sin22∘5⋅sin150∘=sin22∘5⋅0,5≈0,37462,5≈6,7 см
Знайдемо сторону AB:
AB=sin∠BAC⋅sin∠C=sin22∘5⋅sin8∘≈0,37465⋅0,1392≈0,37460,696≈1,9 см
2. Розв’язання для випадку BC=4 см, ∠B=108∘, ∠A=23∘
Знайдемо третій кут ∠C:
∠C=180∘−(∠A+∠B)=180∘−(23∘+108∘)=180∘−131∘=49∘
За теоремою синусів:
sin∠ABC=sin∠BAC=sin∠CAB
Знайдемо сторону AC:
AC=sin∠ABC⋅sin∠B=sin23∘4⋅sin108∘=sin23∘4⋅sin72∘≈0,39074⋅0,9511≈0,39073,8044≈9,7 см
Знайдемо сторону AB:
AB=sin∠ABC⋅sin∠C=sin23∘4⋅sin49∘≈0,39074⋅0,7547≈0,39073,0188≈7,7 см
3. Розв’язання для випадку AB=12 см, ∠B=56∘, ∠C=94∘
Знайдемо градусну міру кута ∠A:
∠A=180∘−(∠B+∠C)=180∘−(56∘+94∘)=180∘−150∘=30∘
За теоремою синусів:
sin∠CAB=sin∠BAC=sin∠ABC
Знайдемо сторону AC:
AC=sin∠CAB⋅sin∠B=sin94∘12⋅sin56∘=sin86∘12⋅sin56∘≈0,997612⋅0,8290≈0,99769,948≈10 см
Знайдемо сторону BC:
BC=sin∠CAB⋅sin∠A=sin94∘12⋅sin30∘=sin94∘12⋅0,5≈0,99766≈6 см
4. Розв’язання для випадку AC=9 см, ∠A=63∘, ∠C=67∘
Знайдемо третій кут ∠B:
∠B=180∘−(∠A+∠C)=180∘−(63∘+67∘)=180∘−130∘=50∘
За теоремою синусів:
sin∠BAC=sin∠ABC=sin∠CAB
Знайдемо сторону BC:
BC=sin∠BAC⋅sin∠A=sin50∘9⋅sin63∘≈0,76609⋅0,8910≈0,76608,019≈10,5 см
Знайдемо сторону AB:
AB=sin∠BAC⋅sin∠C=sin50∘9⋅sin67∘≈0,76609⋅0,9205≈0,76608,2845≈10,8 см
Відповідь:
1) ∠B=22∘, BC≈6,7 см, AB≈1,9 см;
2) ∠C=49∘, AC≈9,7 см, AB≈7,7 см;
3) ∠A=30∘, AC≈10 см, BC≈6 см;
4) ∠B=50∘, BC≈10,5 см, AB≈10,8 см.