Завдання № 13.3. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть $△ABC$ за стороною і двома кутами:

1) $AB=8\text{ см}$, $\angle A=37^{\circ }$, $\angle B=30^{\circ }$;

2) $AC=10\text{ см}$, $\angle A=45^{\circ }$, $\angle C=92^{\circ }$;

3) $BC=6\text{ см}$, $\angle B=12^{\circ }$, $\angle A=18^{\circ }$;

4) $AB=7\text{ см}$, $\angle A=57^{\circ }$, $\angle C=62^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути. Для цього використаємо теорему про суму кутів трикутника та теорему синусів:

1) Дано: $AB=8\text{ см}$, $\angle A=37^{\circ }$, $\angle B=30^{\circ }$

1) Знайдемо невідомий кут $\angle C$ за теоремою про суму кутів трикутника:

2) За теоремою синусів знайдемо сторону $BC$:

Враховуючи, що $\sin 113^{\circ }=\sin (180^{\circ }-113^{\circ })=\sin 67^{\circ }\approx 0,9205$ та $\sin 37^{\circ }\approx 0,6018$:

3) За теоремою синусів знайдемо сторону $AC$:

Враховуючи, що $\sin 30^{\circ }=0,5$:

2) Дано: $AC=10\text{ см}$, $\angle A=45^{\circ }$, $\angle C=92^{\circ }$

1) Знайдемо кут $\angle B$ за теоремою про суму кутів трикутника:

2) За теоремою синусів обчислимо сторону $BC$:

Оскільки $\sin 45^{\circ }\approx 0,7071$ та $\sin 43^{\circ }\approx 0,6820$:

3) За теоремою синусів обчислимо сторону $AB$:

Оскільки $\sin 92^{\circ }=\sin (180^{\circ }-92^{\circ })=\sin 88^{\circ }\approx 0,9994$:

3) Дано: $BC=6\text{ см}$, $\angle B=12^{\circ }$, $\angle A=18^{\circ }$

1) Знайдемо кут $\angle C$ за теоремою про суму кутів трикутника:

2) За теоремою синусів знайдемо сторону $AC$:

Оскільки $\sin 12^{\circ }\approx 0,2079$ та $\sin 18^{\circ }\approx 0,3090$:

3) За теоремою синусів знайдемо сторону $AB$:

Оскільки $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=0,5$:

4) Дано: $AB=7\text{ см}$, $\angle A=57^{\circ }$, $\angle C=62^{\circ }$

1) Знайдемо невідомий кут $\angle B$ за теоремою про суму кутів трикутника:

2) За теоремою синусів обчислимо сторону $BC$:

Оскільки $\sin 57^{\circ }\approx 0,8387$ та $\sin 62^{\circ }\approx 0,8829$:

3) За теоремою синусів обчислимо сторону $AC$:

Оскільки $\sin 61^{\circ }\approx 0,8746$:

Відповідь:

1) $\angle C=113^{\circ }$, $BC\approx 5,2\text{ см}$, $AC\approx 4,3\text{ см}$;

2) $\angle B=43^{\circ }$, $BC\approx 10,4\text{ см}$, $AB\approx 14,7\text{ см}$;

3) $\angle C=150^{\circ }$, $AC\approx 4\text{ см}$, $AB\approx 9,7\text{ см}$;

4) $\angle B=61^{\circ }$, $BC\approx 6,6\text{ см}$, $AC\approx 6,9\text{ см}$.