Завдання № 13.29. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У трикутнику $ABC$ кут $\angle C=120^{\circ }$, точка $H$ — ортоцентр трикутника, $O$ — центр описаного кола. Точка $M$ — середина дуги $ACB$. Доведіть, що $HM=MO$.

Покроковий розв’язок:

Спосіб 1 (векторний метод)

1. Властивість радіус-вектора ортоцентра
Нехай $O$ — початок відліку (центр кола, описаного навколо $△ABC$, радіуса $R$). Тоді довжини радіус-векторів вершин дорівнюють радіусу описаного кола:
$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=R$

За теоремою Гамільтона (векторною формулою Сильвестра для ортоцентра трикутника) радіус-вектор ортоцентра $H$ виражається сумою радіус-векторів його вершин:
$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

2. Знаходження вектора $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
Вписаний кут $\angle ACB=120^{\circ }$ спирається на дугу $AB$, яка не містить вершини $C$. Градусна міра цієї дуги дорівнює:
$2\cdot 120^{\circ }=240^{\circ }$

Отже, дуга $ACB$, на якій лежить точка $C$, дорівнює:
$360^{\circ }-240^{\circ }=120^{\circ }$

Центральний кут $\angle AOB$, що спирається на дугу $ACB$, дорівнює $120^{\circ }$. Точка $M$ — середина дуги $ACB$, тому промінь $OM$ є бісектрисою кута $\angle AOB$:
$\angle AOM=\angle BOM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$

Знайдемо модуль суми векторів $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$:
$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2+2\cdot |\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cdot \cos 120^{\circ }}$
$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{R^2+R^2+2\cdot R\cdot R\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{R^2}=R$

Оскільки $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$, результуючий вектор $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ напрямлений вздовж бісектриси кута $\angle AOB$, тобто співнапрямлений із вектором $\overrightarrow{OM}$.

Враховуючи, що точка $M$ лежить на описаному колі ($|\overrightarrow{OM}|=R$), маємо:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}$

3. Доведення рівності $HM=MO$
Підставимо отриману суму у вираз для ортоцентра:
$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OC}$

Звідси знайдемо вектор $\overrightarrow{MH}$:
$\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$

Порівняємо довжини відрізків:
$HM=|\overrightarrow{MH}|=|\overrightarrow{OC}|=R$

Оскільки точка $M$ лежить на колі радіуса $R$ із центром $O$, відстань $MO=R$.

Отже:
$HM=MO=R$
Рівність доведено.

Спосіб 2 (геометричний метод)

1. Властивості центрального кута та точки $M$
Як було визначено вище, градусна міра дуги $ACB$ становить $120^{\circ }$, отже, $\angle AOB=120^{\circ }$. Оскільки $M$ — середина дуги $ACB$, то:
$\angle AOM=\angle BOM=60^{\circ }$

У трикутнику $AOM$ сторони $OA=OM=R$, а кут між ними дорівнює $60^{\circ }$. Отже, $△AOM$ — рівносторонній, звідки $AM=R$.
Аналогічно з рівнобедреного трикутника $BOM$ із кутом $60^{\circ }$ отримуємо $BM=R$.

Таким чином:
$MA=MB=MO=R$

Це означає, що точка $M$ є центром кола $\omega$ радіуса $R$, яке проходить через точки $A$, $O$ та $B$.

2. Кут між висотами з вершин $A$ і $B$
Оскільки кут $\angle ACB=120^{\circ }$ є тупим, ортоцентр $H$ лежить поза трикутником $ABC$. У чотирикутнику, утвореному основами висот, проведених з вершин $A$ і $B$, та точками $C$ і $H$, сума кутів дорівнює $360^{\circ }$. Оскільки кути при основах висот дорівнюють $90^{\circ }$, кут між ними становить:
$\angle AHB=180^{\circ }-\angle ACB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$

3. Належність точки $H$ колу $\omega$
Точки $H$ та $O$ лежать по різні боки від прямої $AB$. У чотирикутнику $AHBO$ сума протилежних кутів дорівнює:
$\angle AHB+\angle AOB=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$

Отже, навколо чотирикутника $AHBO$ можна описати коло. Оскільки коло, що проходить через точки $A$, $O$ і $B$, є єдиним — це коло $\omega$ із центром у точці $M$ і радіусом $R$.

Звідси випливає, що точка $H$ також лежить на колі $\omega$, тому відстань від центра $M$ до точки $H$ дорівнює радіусу кола:
$HM=R$

Оскільки $MO=R$, маємо:
$HM=MO$
Твердження доведено.

Відповідь: доведено, що $HM=MO=R$, де $R$ — радіус описаного кола навколо $△ABC$.