Завдання № 13.25. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром до відрізка $AB$, якщо $A(-3;2)$, $B(5;0)$.

Покроковий розв’язок:

Серединний перпендикуляр до відрізка — це пряма, яка проходить через середину відрізка та перпендикулярна до нього.

1. Знаходження координат середини відрізка $AB$

Нехай точка $O(x_0;y_0)$ — середина відрізка $AB$. За формулами координат середини відрізка:
$x_0=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$
$y_0=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1$

Отже, середина відрізка $AB$ має координати $O(1;1)$.

2. Знаходження кутового коефіцієнта прямої $AB$

Кутовий коефіцієнт $k$ прямої, що проходить через дві задані точки $A(x_A;y_A)$ та $B(x_B;y_B)$, обчислюється за формулою:
$k=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Підставимо координати точок $A(-3;2)$ та $B(5;0)$:
$k=\frac{0-2}{5-(-3)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$

3. Знаходження кутового коефіцієнта серединного перпендикуляра

Нехай $k_1$ — кутовий коефіцієнт шуканого серединного перпендикуляра. За умовою перпендикулярності двох прямих:
$k_1\cdot k=-1$

Звідси:
$k_1=-\frac{1}{k}=-\frac{1}{-\frac{1}{4}}=4$

4. Складання рівняння серединного перпендикуляра

Шукана пряма має кутовий коефіцієнт $k_1=4$ і проходить через точку $O(1;1)$. Скористаємося рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через дану точку:
$y-y_0=k_1(x-x_0)$

Підставимо значення:
$y-1=4\cdot (x-1)$
$y-1=4x-4$

Зведемо до загального вигляду рівняння прямої:
$4x-y-3=0$

Відповідь:
$4x-y-3=0$ (або $y=4x-3$).