Завдання № 13.24. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сусідні сторони паралелограма дорівнюють $a$ і $b$, а його гострий кут дорівнює $\alpha$. Знайдіть модуль різниці квадратів діагоналей паралелограма.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення кутів паралелограма

Нехай задано паралелограм $ABCD$, у якого сторони $AB=b$, $AD=a$, а гострий кут $\angle DAB=\alpha$.

Оскільки сума сусідніх кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $AD\parallel BC$ та січній $AB$), маємо:

2. Знаходження квадратів діагоналей за теоремою косинусів

Позначимо меншу діагональ $BD=d_1$, а більшу діагональ $AC=d_2$.

Розглянемо $△ABD$. За теоремою косинусів:

Розглянемо $△ABC$, де $AB=b$, а $BC=AD=a$ (як протилежні сторони паралелограма). За теоремою косинусів:

Оскільки за формулою зведення $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, отримуємо:

3. Обчислення модуля різниці квадратів діагоналей

Знайдемо модуль різниці $d_1^2$ та $d_2^2$:

За умовою кут $\alpha$ є гострим ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$), тому $\cos \alpha >0$. Довжини сторін $a>0$ і $b>0$, отже, добуток $4\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha$ є додатним числом.

Розкриваючи знак модуля, маємо:

Відповідь:
$4\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha$ (або $4ab\cos \alpha$)