Завдання № 13.23. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін прямокутника вдвічі більша за іншу, а його діагональ дорівнює $10\text{ см}$. Знайдіть площу й периметр прямокутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометрична модель
Нехай задано прямокутник $ABCD$, у якому довжина однієї зі сторін удвічі більша за іншу.
Позначимо довжину меншої сторони $AB=x\text{ см}$ ($x>0$), тоді довжина більшої суміжної сторони становить $AD=2x\text{ см}$.
За властивістю прямокутника протилежні сторони рівні, отже, $BC=AD=2x\text{ см}$.
Діагональ прямокутника $AC=10\text{ см}$.

2. Знаходження сторін прямокутника
Оскільки кожен кут прямокутника є прямим, трикутник $ABC$ — прямокутний ($\angle B=90^{\circ }$).
За теоремою Піфагора для $△ABC$:
$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$

Підставимо вирази сторін у рівняння:

Звідси сторони прямокутника дорівнюють:
$AB=2\sqrt{5}\text{ см}$
$BC=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\text{ см}$

3. Обчислення площі прямокутника
Площа прямокутника обчислюється як добуток двох його суміжних сторін:
$S=AB\cdot BC=2\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}=8\cdot 5=40{\text{ см}}^2$

4. Обчислення периметра прямокутника
Периметр прямокутника дорівнює подвоєній сумі довжин суміжних сторін:
$P=2\cdot (AB+BC)=2\cdot (2\sqrt{5}+4\sqrt{5})=2\cdot 6\sqrt{5}=12\sqrt{5}\text{ см}$

Відповідь: $40{\text{ см}}^2$; $12\sqrt{5}\text{ см}$.