Завдання № 13.21. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Щоб за відсутності далекоміра знайти відстань між двома недоступними точками $A$ і $B$, вибрали дві доступні точки $C$ і $D$, провели вимірювання й отримали: $CD=50\text{ м}$, $\angle ADB=50^{\circ }$, $\angle ADC=80^{\circ }$, $\angle ACB=40^{\circ }$, $\angle BCD=45^{\circ }$. Знайдіть відстань $AB$ (з точністю до метра).

Покроковий розв’язок:

Для обчислення шуканої відстані $AB$ розглянемо трикутники $△CBD$, $△ACD$ та $△ACB$.

1. Знайдемо сторону $CB$ із $△CBD$

Обчислимо кути трикутника $△CBD$:

• За умовою $\angle BCD=45^{\circ }$.
• Кут $\angle BDC$ складається з двох кутів: $$\angle BDC=\angle ADB+\angle ADC=50^{\circ }+80^{\circ }=130^{\circ }$$
• За теоремою про суму кутів трикутника: $$\angle CBD=180^{\circ }-(\angle BCD+\angle BDC)=180^{\circ }-(45^{\circ }+130^{\circ })=180^{\circ }-175^{\circ }=5^{\circ }$$

За теоремою синусів для $△CBD$:

Звідси виразимо довжину сторони $CB$:

Оскільки $\sin 130^{\circ }=\sin (180^{\circ }-50^{\circ })=\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$, а $\sin 5^{\circ }\approx 0,0872$:

2. Знайдемо сторону $AC$ із $△ACD$

Обчислимо кути трикутника $△ACD$:

• Кут $\angle ACD$ дорівнює сумі двох кутів: $$\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD=40^{\circ }+45^{\circ }=85^{\circ }$$
• За умовою $\angle ADC=80^{\circ }$.
• За теоремою про суму кутів трикутника: $$\angle CAD=180^{\circ }-(\angle ACD+\angle ADC)=180^{\circ }-(85^{\circ }+80^{\circ })=180^{\circ }-165^{\circ }=15^{\circ }$$

За теоремою синусів для $△ACD$:

Звідси виразимо довжину сторони $AC$:

Враховуючи, що $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$, а $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$:

3. Знайдемо відстань $AB$ із $△ACB$

У трикутнику $△ACB$ відомі дві сторони $AC\approx 190,3\text{ м}$, $CB\approx 439,5\text{ м}$ та кут між ними $\angle ACB=40^{\circ }$.

За теоремою косинусів:

Підставимо отримані числові значення ($\cos 40^{\circ }\approx 0,7660$):

Обчислимо довжину $AB$:

Відповідь: $\approx 318\text{ м}$.