Завдання № 13.20. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких дорівнює $7\text{ см}$. Одна з них дорівнює $5\text{ см}$ і утворює з прямою кут $60^{\circ }$. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих сантиметра), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?

Покроковий розв’язок:

Нехай з точки $A$ до прямої проведено похилу $AB=5\text{ см}$, яка утворює з прямою кут $60^{\circ }$, та похилу $AC$. Основи похилих — точки $B$ і $C$, відстань між якими $BC=7\text{ см}$.

Оскільки точку $C$ на прямій можна відкласти від точки $B$ у двох протилежних напрямках, слід розглянути два випадки.

Випадок 1. Основа $C$ розташована з того ж боку від точки $B$, у якому утворюється гострий кут з прямою

У цьому випадку в трикутнику $△ABC$ внутрішній кут $\angle ABC=60^{\circ }$, сторона $AB=5\text{ см}$, сторона $BC=7\text{ см}$.

1) За теоремою косинусів знайдемо довжину другої похилої $AC$:
$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }}$
$AC=\sqrt{5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{25+49-35}=\sqrt{39}\approx 6,24\text{ см}$

2) За теоремою синусів знайдемо кут $\angle C$, який друга похила утворює з прямою:
$\frac{AC}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AB}{\sin \angle C}$
$\sin \angle C=\frac{AB\cdot \sin 60^{\circ }}{AC}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\frac{5}{2\sqrt{13}}\approx 0,6934$
Звідси:
$\angle C\approx 44^{\circ }$

3) За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо кут між похилими $\angle BAC$:
$\angle BAC=180^{\circ }-(\angle ABC+\angle C)\approx 180^{\circ }-(60^{\circ }+44^{\circ })=76^{\circ }$

Випадок 2. Основа $C$ розташована у протилежному напрямку від точки $B$

У цьому випадку кут $\angle ABC$ є суміжним до кута нахилу похилої $AB$ до прямої:
$\angle ABC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

1) За теоремою косинусів знайдемо довжину другої похилої $AC$:
$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }}$
Оскільки $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$:
$AC=\sqrt{5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{25+49+35}=\sqrt{109}\approx 10,44\text{ см}$

2) За теоремою синусів знайдемо кут $\angle C$, який друга похила утворює з прямою:
$\frac{AC}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin \angle C}$
$\sin \angle C=\frac{AB\cdot \sin 120^{\circ }}{AC}\approx \frac{5\cdot 0,8660}{10,44}\approx 0,4148$
Звідси:
$\angle C\approx 25^{\circ }$

3) За теоремою про суму кутів трикутника обчислимо кут між похилими $\angle BAC$:
$\angle BAC=180^{\circ }-(\angle ABC+\angle C)\approx 180^{\circ }-(120^{\circ }+25^{\circ })=35^{\circ }$

Відповідь:
Слід розглянути $2$ випадки:

1) друга похила $\approx 6,24\text{ см}$, кут між похилими $\approx 76^{\circ }$, кут другої похилої з прямою $\approx 44^{\circ }$;

2) друга похила $\approx 10,44\text{ см}$, кут між похилими $\approx 35^{\circ }$, кут другої похилої з прямою $\approx 25^{\circ }$.