Завдання № 13.2. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть $△ABC$ за двома сторонами і кутом між ними:

1) $AC=5\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$, $\angle C=42^{\circ }$;

2) $BC=8\text{ см}$, $AB=9\text{ см}$, $\angle B=62^{\circ }$;

3) $AB=9\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$, $\angle A=120^{\circ }$;

4) $AC=8\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, $\angle C=147^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Розв’язати трикутник означає знайти довжини всіх його невідомих сторін та градусні міри невідомих кутів.

1) Випадок 1: $AC=5\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$, $\angle C=42^{\circ }$

1) Знайдемо третю сторону $AB$ за теоремою косинусів:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C}$
Підставимо значення ($\cos 42^{\circ }\approx 0,7431$):

2) Знайдемо кут $B$ за теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}⟹\sin \angle B=\frac{AC\cdot \sin \angle C}{AB}$
Оскільки $\sin 42^{\circ }\approx 0,6691$:
$\sin \angle B=\frac{5\cdot 0,6691}{4,7}\approx 0,7118$
Звідси $\angle B\approx 45^{\circ }$ (кут гострий, оскільки лежить проти меншої сторони $AC<BC$).

3) Обчислимо градусну міру кута $A$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A=180^{\circ }-(\angle B+\angle C)=180^{\circ }-(45^{\circ }+42^{\circ })=180^{\circ }-87^{\circ }=93^{\circ }$

2) Випадок 2: $BC=8\text{ см}$, $AB=9\text{ см}$, $\angle B=62^{\circ }$

1) Знайдемо сторону $AC$ за теоремою косинусів:
$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B}$
Підставимо значення ($\cos 62^{\circ }\approx 0,4695$):

2) Знайдемо кут $C$ за теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}⟹\sin \angle C=\frac{AB\cdot \sin \angle B}{AC}$
Оскільки $\sin 62^{\circ }\approx 0,8829$:
$\sin \angle C=\frac{9\cdot 0,8829}{8,8}\approx 0,9030$
Звідси $\angle C\approx 65^{\circ }$.

3) Обчислимо кут $A$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A=180^{\circ }-(\angle B+\angle C)=180^{\circ }-(62^{\circ }+65^{\circ })=180^{\circ }-127^{\circ }=53^{\circ }$

3) Випадок 3: $AB=9\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$, $\angle A=120^{\circ }$

1) Знайдемо протилежну сторону $BC$ за теоремою косинусів:
$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A}$
Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-120^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-0,5$:

2) Знайдемо кут $C$ за теоремою синусів:
$\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}⟹\sin \angle C=\frac{AB\cdot \sin \angle A}{BC}$
Оскільки $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660$:
$\sin \angle C=\frac{9\cdot 0,8660}{12,3}\approx 0,6337$
Звідси $\angle C\approx 39^{\circ }$ (оскільки кут $\angle A$ тупий, решта кутів трикутника обов’язково гострі).

3) Обчислимо кут $B$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle B=180^{\circ }-(\angle A+\angle C)=180^{\circ }-(120^{\circ }+39^{\circ })=180^{\circ }-159^{\circ }=21^{\circ }$

4) Випадок 4: $AC=8\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, $\angle C=147^{\circ }$

1) Обчислимо сторону $AB$ за теоремою косинусів:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C}$
Оскільки $\cos 147^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-147^{\circ })=-\cos 33^{\circ }\approx -0,8387$:

2) Знайдемо кут $B$ за теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}⟹\sin \angle B=\frac{AC\cdot \sin \angle C}{AB}$
Оскільки $\sin 147^{\circ }=\sin (180^{\circ }-147^{\circ })=\sin 33^{\circ }\approx 0,5446$:
$\sin \angle B=\frac{8\cdot 0,5446}{11,6}\approx 0,3756$
Звідси $\angle B\approx 22^{\circ }$.

3) Знайдемо кут $A$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A=180^{\circ }-(\angle C+\angle B)=180^{\circ }-(147^{\circ }+22^{\circ })=180^{\circ }-169^{\circ }=11^{\circ }$

Відповідь:

1) $AB\approx 4,7\text{ см}$, $\angle B\approx 45^{\circ }$, $\angle A\approx 93^{\circ }$;

2) $AC\approx 8,8\text{ см}$, $\angle C\approx 65^{\circ }$, $\angle A\approx 53^{\circ }$;

3) $BC\approx 12,3\text{ см}$, $\angle C\approx 39^{\circ }$, $\angle B\approx 21^{\circ }$;

4) $AB\approx 11,6\text{ см}$, $\angle B\approx 22^{\circ }$, $\angle A\approx 11^{\circ }$.