Завдання № 13.19. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути $50^{\circ }$ і $70^{\circ }$. Відстань між основами похилих дорівнює $6\text{ см}$. Знайдіть кут між похилими та довжини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути?

Покроковий розв’язок:

Нехай з точки $A$ до прямої проведено дві похилі $AB$ та $AC$, а відрізок $AH$ — перпендикуляр, опущений з точки $A$ на цю пряму ($H$ — основа перпендикуляра).

За умовою, кути нахилу похилих до прямої становлять $70^{\circ }$ і $50^{\circ }$, а відстань між їхніми основами $BC=6\text{ см}$.

Оскільки більшому куту нахилу відповідає менша довжина проєкції похилої ($AH=HB\cdot \mathrm{tg}70^{\circ }=HC\cdot \mathrm{tg}50^{\circ }$, звідки $HB<HC$), основа похилої з кутом $70^{\circ }$ обов’язково розташована ближче до основи перпендикуляра $H$, ніж основа похилої з кутом $50^{\circ }$.

Тому геометрично можливі лише два випадки взаємного розміщення основ похилих відносно точки $H$:

1) Основи похилих $B$ і $C$ лежать по різні боки від основи перпендикуляра $H$.

2) Основи похилих $B$ і $C$ лежать по один бік від основи перпендикуляра $H$.

Розглянемо кожен із них.

Випадок 1. Основи похилих лежать по різні боки від основи перпендикуляра

У цьому випадку основа перпендикуляра $H$ лежить між точками $B$ і $C$. Тоді у трикутнику $ABC$:

• кут $\angle ABC=70^{\circ }$;
• кут $\angle ACB=50^{\circ }$.

1. Знайдемо кут між похилими:

За теоремою про суму кутів трикутника:

2. Знайдемо довжини похилих за теоремою синусів:

У $△ABC$:

Підставимо відомі значення:

Звідси виразимо похилу $AB$:

Виразимо похилу $AC$:

Випадок 2. Основи похилих лежать по один бік від основи перпендикуляра

Оскільки проєкція $HB<HC$, точка $B$ лежить між точками $H$ і $C$.

У прямокутному трикутнику $ABH$ кут нахилу похилої до прямої становить $\angle ABH=70^{\circ }$. Тоді кут $\angle ABC$ трикутника $ABC$ є суміжним до кута $\angle ABH$:

Кут нахилу другої похилої: $\angle ACB=50^{\circ }$.

1. Знайдемо кут між похилими:

За теоремою про суму кутів трикутника:

(Також цей кут можна знайти як різницю кутів нахилу: $\angle BAC=70^{\circ }-50^{\circ }=20^{\circ }$, оскільки кут $70^{\circ }$ є зовнішнім для $△ABC$).

2. Знайдемо довжини похилих за теоремою синусів:

У $△ABC$:

Підставимо числові дані:

Враховуючи, що $\sin 110^{\circ }=\sin (180^{\circ }-70^{\circ })=\sin 70^{\circ }$:

Обчислимо похилу $AB$:

Обчислимо похилу $AC$:

Відповідь: слід розглянути 2 можливі випадки:

1) кут між похилими дорівнює $60^{\circ }$, довжини похилих $\approx 5,31\text{ см}$ і $\approx 6,51\text{ см}$;

2) кут між похилими дорівнює $20^{\circ }$, довжини похилих $\approx 13,44\text{ см}$ і $\approx 16,48\text{ см}$.