Завдання № 13.18. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

О 8:00 порушник правил дорожнього руху повернув з головної дороги і помчав уздовж шосе зі швидкістю $150 км / год$ . О 8:01 екіпаж патрульної поліції отримав наказ затримати порушника й помчав йому напереріз ґрунтовою дорогою зі швидкістю $80 км / год$ (мал. 13.7). Чи встигнуть патрульні зупинити порушника на перехресті шосе і ґрунтової дороги?

Креслення до завдання 13.18

Покроковий розв’язок:

Змоделюємо ситуацію за допомогою трикутника $A B C$ :

Точка $A$ — місце повороту порушника з головної дороги на шосе;
Точка $B$ — початкове розташування патрульного екіпажу на головній дорозі ( $A B = 12 км$ );
Точка $C$ — перехрестя шосе та ґрунтової дороги;
Відрізок $A C$ — шлях, який долає порушник зі швидкістю $v_{1} = 150 км / год$ ;
Відрізок $B C$ — шлях, який долає патрульний автомобіль зі швидкістю $v_{2} = 80 км / год$ .

1. Знаходження кутів трикутника

За умовою $∠ A = 2 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ .

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ B) = 18 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 10 0^{\circ}

2. Обчислення відстаней за теоремою синусів

За теоремою синусів для $△ A B C$ :

\frac{A C}{sin ∠ B} = \frac{B C}{sin ∠ A} = \frac{A B}{sin ∠ C}

Підставимо відомі числові дані:

\frac{A C}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{B C}{sin 2 0 ^{\circ}} = \frac{12}{sin 10 0 ^{\circ}}

Враховуючи, що $sin 10 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 8 0^{\circ}) = sin 8 0^{\circ} \approx 0, 9848$ , $sin 6 0^{\circ} \approx 0, 8660$ , $sin 2 0^{\circ} \approx 0, 3420$ :

Знайдемо довжину шляху порушника $A C$ :

A C = \frac{A B \cdot sin 6 0 ^{\circ}}{sin 10 0 ^{\circ}} \approx \frac{12 \cdot 0 , 8660}{0 , 9848} \approx 10, 55 км

Знайдемо довжину шляху патрульного автомобіля $B C$ :

B C = \frac{A B \cdot sin 2 0 ^{\circ}}{sin 10 0 ^{\circ}} \approx \frac{12 \cdot 0 , 3420}{0 , 9848} \approx 4, 17 км

3. Розрахунок часу руху

Час руху порушника до перехрестя:

t_{1} = \frac{A C}{v _{1}} \approx \frac{10 , 55}{150} год = \frac{10 , 55 \cdot 60}{150} хв = \frac{10 , 55 \cdot 2}{5} = 4, 22 хв

Тобто порушник прибуде на перехрестя приблизно через $4, 22 хв$ після 8:00.

Час руху патрульних від моменту старту:

t_{2} = \frac{B C}{v _{2}} \approx \frac{4 , 17}{80} год = \frac{4 , 17 \cdot 60}{80} хв = \frac{4 , 17 \cdot 3}{4} \approx 3, 13 хв

Оскільки патруль виїхав о 8:01 (із запізненням на $1 хв$ відносно порушника), то відлік часу від 8:00 до прибуття патрульних на перехрестя становить:

t_{заг} = 1 хв + 3, 13 хв = 4, 13 хв

4. Порівняння результатів

Порівняємо час прибуття на перехрестя від початку погоні (від 8:00):

4, 13 хв < 4, 22 хв

Патрульні прибудуть на перехрестя раніше за порушника, отже, вони встигнуть його зупинити.

Відповідь: Так, встигнуть.

Завдання № 13.18. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку