Завдання № 13.17. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$AD$ і $BC$ — основи рівнобічної трапеції $ABCD$, $BD=8\text{ см}$, $\angle ABD=49^{\circ }$, $\angle DBC=62^{\circ }$. Знайдіть сторони і кути трапеції.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кутів трапеції

Кут $B$ складається з двох кутів: $\angle ABD$ та $\angle DBC$. За аксіомою вимірювання кутів:

Оскільки трапеція $ABCD$ є рівнобічною з основами $AD$ і $BC$, то кути при кожній з основ рівні між собою:

Кути $\angle A$ і $\angle B$ є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих $AD$ і $BC$ та січній $AB$, тому їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:

Кути при більшій основі також рівні, отже:

2. Знаходження кутів трикутників $△ABD$ та $△BCD$

Кути $\angle ADB$ і $\angle DBC$ є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих $AD\parallel BC$ та січній $BD$, отже:

Знайдемо кут $\angle BDC$:

3. Знаходження сторін $AD$ і $AB$ за теоремою синусів

Застосуємо теорему синусів у трикутнику $△ABD$:

Підставимо відомі числові значення:

Обчислимо сторону $AD$:

Обчислимо бічну сторону $AB$:

Оскільки в рівнобічній трапеції бічні сторони рівні, маємо:

4. Знаходження основи $BC$ за теоремою синусів

Застосуємо теорему синусів у трикутнику $△BCD$:

Оскільки $\sin \angle C=\sin 111^{\circ }=\sin (180^{\circ }-69^{\circ })=\sin 69^{\circ }$, отримуємо:

Відповідь:
Кути трапеції: $\angle A=\angle D=69^{\circ }$, $\angle B=\angle C=111^{\circ }$;
сторони трапеції: $AB=CD\approx 7,6\text{ см}$, $AD\approx 6,5\text{ см}$, $BC\approx 1\text{ см}$.