Завдання № 13.16. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Основи рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють $AD$ і $BC$. Відомо, що діагональ $AC=6\text{ см}$, $\angle BAC=52^{\circ }$, $\angle CAD=20^{\circ }$. Знайдіть сторони і кути трапеції.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення кутів трапеції

Кут $BAD$ складається з двох кутів $\angle BAC$ та $\angle CAD$:

Оскільки трапеція $ABCD$ є рівнобічною ($AB=CD$), кути при її основах рівні:

• $\angle D=\angle BAD=72^{\circ }$ (як кути при більшій основі $AD$).

Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $BC\parallel AD$):

2. Знаходження сторін $BC$ та $AB$

Розглянемо $△ABC$.
Кути $\angle BCA$ та $\angle CAD$ є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих $BC\parallel AD$ та січній $AC$, тому:

Застосуємо теорему синусів для $△ABC$:

Підставимо відомі значення:

Враховуючи, що $\sin 108^{\circ }=\sin (180^{\circ }-72^{\circ })=\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$, $\sin 52^{\circ }\approx 0,7880$, $\sin 20^{\circ }\approx 0,3420$:

• Знайдемо основу $BC$:

• Знайдемо бічну сторону $AB$:

Оскільки трапеція рівнобічна, то друга бічна сторона:

3. Знаходження основи $AD$

Розглянемо $△ACD$.
Знайдемо кут $\angle ACD$:

Застосуємо теорему синусів для $△ACD$:

Звідси знайдемо більшу основу $AD$ (враховуючи, що $\sin 88^{\circ }\approx 0,9994$):

Відповідь:
$\angle A=72^{\circ }$, $\angle D=72^{\circ }$, $\angle B=108^{\circ }$, $\angle C=108^{\circ }$;
$AB\approx 2,2\text{ см}$, $CD\approx 2,2\text{ см}$, $BC\approx 5\text{ см}$, $AD\approx 6,3\text{ см}$.