Завдання № 13.15. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Діагоналі паралелограма дорівнюють $8 см$ і $10 см$ та перетинаються під кутом $7 0^{\circ}$ . Знайдіть сторони і кути паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай $A B C D$ — заданий паралелограм, у якому діагоналі $A C$ та $B D$ перетинаються в точці $O$ .
За умовою: $A C = 10 см$ , $B D = 8 см$ , а гострий кут між діагоналями $∠ C O D = 7 0^{\circ}$ .

1. Знаходження відрізків діагоналей та суміжного кута
За властивістю паралелограма діагоналі точкою перетину діляться навпіл:

A O = O C = \frac{A C}{2} = \frac{10}{2} = 5 см

B O = O D = \frac{B D}{2} = \frac{8}{2} = 4 см

Кути $∠ C O D$ і $∠ A O D$ є суміжними, тому їхня сума дорівнює $18 0^{\circ}$ :

∠ A O D = 18 0^{\circ} - ∠ C O D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

2. Обчислення сторін паралелограма
Розглянемо $△ C O D$ . За теоремою косинусів:

C D^{2} = O C^{2} + O D^{2} - 2 \cdot O C \cdot O D \cdot cos 7 0^{\circ}

Враховуючи, що $cos 7 0^{\circ} \approx 0, 3420$ :

C D^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 0, 3420 C D^{2} = 25 + 16 - 40 \cdot 0, 3420 = 41 - 13, 68 = 27, 32 C D = 27, 32 \approx 5, 2 см

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні:

A B = C D \approx 5, 2 см

Розглянемо $△ A O D$ . За теоремою косинусів:

A D^{2} = O A^{2} + O D^{2} - 2 \cdot O A \cdot O D \cdot cos 11 0^{\circ}

Оскільки $cos 11 0^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 11 0^{\circ}) = - cos 7 0^{\circ} \approx - 0, 3420$ :

A D^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (- 0, 3420) A D^{2} = 41 + 13, 68 = 54, 68 A D = 54, 68 \approx 7, 4 см

За властивістю протилежних сторін:

B C = A D \approx 7, 4 см

3. Обчислення кутів паралелограма
Розглянемо $△ A B D$ . За теоремою косинусів знайдемо кут $A$ :

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot cos ∠ A

Звідси:

cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A D ^{2} - B D ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A D}

Підставимо обчислені значення:

cos ∠ A \approx \frac{5 , 2 ^{2} + 7 , 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 5 , 2 \cdot 7 , 4} = \frac{27 , 04 + 54 , 76 - 64}{76 , 96} = \frac{17 , 8}{76 , 96} \approx 0, 2313

Тоді величина кута $A$ :

∠ A = arccos (0, 2313) \approx 7 7^{\circ}

Протилежні кути паралелограма рівні:

∠ C = ∠ A \approx 7 7^{\circ}

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює $18 0^{\circ}$ :

∠ B = ∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ A \approx 18 0^{\circ} - 7 7^{\circ} = 10 3^{\circ}

Відповідь: сторони приблизно $5, 2 см$ і $7, 4 см$ ; кути приблизно $7 7^{\circ}$ і $10 3^{\circ}$ .

Завдання № 13.15. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку