Завдання № 13.14. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона паралелограма дорівнює $6\text{ см}$ і утворює з його діагоналями кути $27^{\circ }$ і $48^{\circ }$. Знайдіть другу сторону і кути паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано паралелограм $ABCD$, у якому $AB=6\text{ см}$. Діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$.
За умовою діагоналі утворюють зі стороною $AB$ кути $\angle CAB=27^{\circ }$ та $\angle DBA=48^{\circ }$ (відповідно $\angle OAB=27^{\circ }$ і $\angle OBA=48^{\circ }$).

1. Знаходження кутів у трикутнику $ABO$ та половини діагоналі $BD$:

Розглянемо $△ABO$. За теоремою про суму кутів трикутника:

Застосуємо теорему синусів у $△ABO$:

Звідси виразимо відрізок $BO$:

Обчислимо значення тригонометричних функцій за таблицями або калькулятором ($\sin 27^{\circ }\approx 0,4540$, $\sin 105^{\circ }=\cos 15^{\circ }\approx 0,9659$):

Оскільки діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, уся діагональ $BD$ дорівнює:

2. Знаходження другої сторони паралелограма ($AD$):

Розглянемо $△ABD$. У ньому відомі дві сторони $AB=6\text{ см}$, $BD\approx 5,64\text{ см}$ та кут між ними $\angle ABD=48^{\circ }$.
За теоремою косинусів:

Враховуючи, що $\cos 48^{\circ }\approx 0,6691$:

Звідси довжина сторони $AD$:

3. Обчислення кутів паралелограма:

Знайдемо кут $\angle BAD$ за теоремою косинусів для $△ABD$:

Підставимо отримані значення:

Звідси:

Оскільки протилежні кути паралелограма рівні:

Сума сусідніх кутів паралелограма, як внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих, дорівнює $180^{\circ }$:

Відповідь: друга сторона $\approx 4,75\text{ см}$; кути паралелограма становлять приблизно $62^{\circ }$, $118^{\circ }$, $62^{\circ }$, $118^{\circ }$.