Завдання № 13.12. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть $△ABC$ за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) $AC=5\text{ см}$, $BC=8\text{ см}$, $\angle A=80^{\circ }$;

2) $AC=10\text{ см}$, $AB=7\text{ см}$, $\angle B=60^{\circ }$;

3) $BC=2\text{ см}$, $AC=4\text{ см}$, $\angle A=61^{\circ }$;

4) $AC=3\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, $\angle B=30^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Для розв’язання трикутника за двома сторонами та протилежним кутом застосовуємо теорему синусів:

1) Дано: $AC=5\text{ см}$, $BC=8\text{ см}$, $\angle A=80^{\circ }$

Знайдемо кут $B$ за теоремою синусів:

Підставимо значення:

Оскільки проти більшої сторони лежить більший кут ($BC>AC$, тобто $8\text{ см}>5\text{ см}$), кут $B$ має бути меншим за кут $A$ ($80^{\circ }$), отже, кут $B$ — гострий:

Знайдемо третій кут $\angle C$ за теоремою про суму кутів трикутника:

Знайдемо сторону $AB$ за теоремою синусів:

2) Дано: $AC=10\text{ см}$, $AB=7\text{ см}$, $\angle B=60^{\circ }$

Знайдемо кут $C$ за теоремою синусів:

Підставимо числові дані:

Оскільки $AC>AB$ ($10\text{ см}>7\text{ см}$), кут $C$ має бути меншим за кут $B$ ($60^{\circ }$), тобто кут $C$ є гострим:

Обчислимо градусну міру кута $A$:

Знайдемо сторону $BC$:

3) Дано: $BC=2\text{ см}$, $AC=4\text{ см}$, $\angle A=61^{\circ }$

Знайдемо значення $\sin B$ за теоремою синусів:

Оскільки для будь-якого кута виконується нерівність $\sin B⩽1$, а отримане значення $1,7492>1$, такий трикутник існувати не може.

4) Дано: $AC=3\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, $\angle B=30^{\circ }$

Знайдемо $\sin A$ за теоремою синусів:

Оскільки сторона $BC$ більша за протилежну даному куту сторону $AC$ ($4\text{ см}>3\text{ см}$), кут $A$ може бути як гострим, так і тупим ($\angle A>\angle B=30^{\circ }$). Отже, задача має два розв’язки:
$\angle A_1\approx 42^{\circ }$ або $\angle A_2=180^{\circ }-42^{\circ }=138^{\circ }$.

Перший випадок ($\angle A_1\approx 42^{\circ }$):

Знайдемо сторону $A{B}_1$:

Другий випадок ($\angle A_2\approx 138^{\circ }$):

Знайдемо сторону $A{B}_2$:

Відповідь:

1) $\angle B\approx 38^{\circ }$, $\angle C\approx 62^{\circ }$, $AB\approx 7,2\text{ см}$;

2) $\angle C\approx 37^{\circ }$, $\angle A\approx 83^{\circ }$, $BC\approx 11,5\text{ см}$;

3) трикутник не існує;

4) два розв’язки: $\angle A\approx 42^{\circ }$, $\angle C\approx 108^{\circ }$, $AB\approx 5,7\text{ см}$ або $\angle A\approx 138^{\circ }$, $\angle C\approx 12^{\circ }$, $AB\approx 1,2\text{ см}$.