Завдання № 13.10. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Футбольний м’яч міститься в точці $A$ футбольного поля на відстанях $20\text{ м}$ і $18\text{ м}$ від основ $B$ і $C$ стійок воріт. Футболіст спрямовує м’яч у ворота. Знайдіть кут $\alpha$ (з точністю до градуса), під яким м’яч бачить лінію воріт, якщо ширина воріт дорівнює $7,32\text{ м}$.

Покроковий розв’язок:

Розглянемо трикутник $ABC$, утворений точкою знаходження м’яча $A$ та основами стійок воріт $B$ і $C$.

За умовою задачі маємо довжини сторін:

• $AB=20\text{ м}$;
• $AC=18\text{ м}$;
• $BC=7,32\text{ м}$.

Необхідно знайти величину кута $\alpha =\angle BAC$.

1. Застосування теореми косинусів

За теоремою косинусів для сторони $BC$ трикутника $ABC$:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \alpha$

Звідси виразимо косинус кута $\alpha$:
$\cos \alpha =\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$

2. Обчислення значення косинуса

Підставимо числові дані:

3. Знаходження градусної міри кута

За таблицями тригонометричних функцій або за допомогою калькулятора знайдемо кут $\alpha$:
$\alpha =\arccos (0,9311)\approx 21,39^{\circ }\approx 21^{\circ }$

Відповідь:
$\approx 21^{\circ }$.