Завдання № 13.1. § 13. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть $△ABC$ за двома сторонами і кутом між ними:

1) $AB=7\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$;

2) $AC=8\text{ см}$, $BC=9\text{ см}$, $\angle C=46^{\circ }$;

3) $BC=10\text{ см}$, $AB=6\text{ см}$, $\angle B=117^{\circ }$;

4) $AB=3\text{ см}$, $AC=8\text{ см}$, $\angle A=129^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути. Для цього послідовно застосовуємо теорему косинусів, теорему синусів та теорему про суму кутів трикутника.

1. Розв’язування за даними: $AB=7\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$

Знайдемо третю сторону $BC$ за теоремою косинусів:

Знайдемо кут $B$ за теоремою синусів:

Звідси $\angle B\approx 44^{\circ }$ (якщо використовувати наближення $BC\approx 6,3\text{ см}$, то $\sin \angle B\approx 0,6873$, звідки $\angle B\approx 43^{\circ }$).

Знайдемо невідомий кут $C$ за теоремою про суму кутів трикутника:

2. Розв’язування за даними: $AC=8\text{ см}$, $BC=9\text{ см}$, $\angle C=46^{\circ }$

Знайдемо сторону $AB$ за теоремою косинусів ($\cos 46^{\circ }\approx 0,6947$):

(При округленні $\cos 46^{\circ }\approx 0,69$ маємо $AB\approx 6,8\text{ см}$).

Знайдемо кут $B$ за теоремою синусів ($\sin 46^{\circ }\approx 0,7193$):

(При використанні $AB\approx 6,8\text{ см}$ отримаємо $\sin \angle B\approx 0,8462$, звідки $\angle B\approx 58^{\circ }$).

Знайдемо кут $A$ за теоремою про суму кутів трикутника:

3. Розв’язування за даними: $BC=10\text{ см}$, $AB=6\text{ см}$, $\angle B=117^{\circ }$

Врахуємо, що для тупого кута:

Знайдемо сторону $AC$ за теоремою косинусів:

Знайдемо гострий кут $C$ за теоремою синусів ($\sin 117^{\circ }=\sin 63^{\circ }\approx 0,8910$):

Знайдемо кут $A$ за теоремою про суму кутів трикутника:

4. Розв’язування за даними: $AB=3\text{ см}$, $AC=8\text{ см}$, $\angle A=129^{\circ }$

Врахуємо значення тригонометричних функцій тупого кута:

Знайдемо сторону $BC$ за теоремою косинусів:

Знайдемо кут $B$ за теоремою синусів (оскільки кут $A$ тупий, кут $B$ обов’язково гострий):

Знайдемо кут $C$ за теоремою про суму кутів трикутника:

Відповідь:

1) $BC\approx 6,2\text{ см}$ (або $6,3\text{ см}$), $\angle B\approx 44^{\circ }$ (або $43^{\circ }$), $\angle C\approx 76^{\circ }$ (або $77^{\circ }$);

2) $AB\approx 6,7\text{ см}$ (або $6,8\text{ см}$), $\angle B\approx 59^{\circ }$ (або $58^{\circ }$), $\angle A\approx 75^{\circ }$ (або $76^{\circ }$);

3) $AC\approx 13,8\text{ см}$, $\angle C\approx 23^{\circ }$, $\angle A\approx 40^{\circ }$;

4) $BC\approx 10,2\text{ см}$, $\angle B\approx 38^{\circ }$, $\angle C\approx 13^{\circ }$.