Завдання № 12. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точка $A (x_{0}; y_{0})$ лежить на колі $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Складіть рівняння дотичної до кола, що проходить через точку $A$ .

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості дотичної та радіуса
Центром кола $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ є початок координат — точка $O (0; 0)$ , а його радіус дорівнює $r$ .
За означенням та властивістю дотичної до кола, дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Отже, якщо пряма є дотичною до кола в точці $A (x_{0}; y_{0})$ , то вона проходить через точку $A$ перпендикулярно до відрізка $O A$ :
$O A ⊥ дотичній$

2. Застосування векторного методу
Нехай $M (x; y)$ — довільна точка шуканої дотичної прямої.
Знайдемо координати векторів $O A$ та $A M$ :

O A = (x_{0} - 0; y_{0} - 0) = (x_{0}; y_{0}) A M = (x - x_{0}; y - y_{0})

Оскільки пряма перпендикулярна до радіуса $O A$ , вектори $O A$ та $A M$ є взаємно перпендикулярними:
$O A ⊥ A M$

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
$O A \cdot A M = 0$

3. Складання рівняння прямої
Запишемо скалярний добуток у координатній формі:
$x_{0} \cdot (x - x_{0}) + y_{0} \cdot (y - y_{0}) = 0$

Розкриємо дужки:
$x_{0} x - x_{0}^{2} + y_{0} y - y_{0}^{2} = 0$
$x_{0} x + y_{0} y - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2}) = 0$

Оскільки точка $A (x_{0}; y_{0})$ за умовою належить колу $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , її координати задовольняють рівняння цього кола:
$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = r^{2}$

Підставимо $r^{2}$ замість виразу $(x_{0}^{2} + y_{0}^{2})$ :
$x_{0} x + y_{0} y - r^{2} = 0$
$x_{0} x + y_{0} y = r^{2}$

Відповідь:
$x_{0} x + y_{0} y = r^{2}$

Завдання № 12. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку