Завдання № 12. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відносяться як $3:4$. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до площини, якщо проєкції похилих на цю площину дорівнюють $9\text{ см}$ і $16\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень та коефіцієнта пропорційності

Нехай із точки $A$ до даної площини опущено перпендикуляр $AH\perp \alpha$, довжина якого дорівнює $h$ (це і є шукана відстань від точки до площини).

Проведено дві похилі $A{F}_1=l_1$ та $A{F}_2=l_2$. Їхніми проєкціями на площину є відрізки $H{F}_1=9\text{ см}$ та $H{F}_2=16\text{ см}$.

За умовою довжини похилих відносяться як $3:4$. Введемо коефіцієнт пропорційності $x>0$:
$l_1=3x,l_2=4x$

2. Застосування теореми Піфагора

Перпендикуляр, проведений з точки до площини, перпендикулярний до будь-якої прямої цієї площини, яка проходить через його основу. Отже, трикутники $△AH{F}_1$ та $△AH{F}_2$ є прямокутними з прямим кутом при вершині $H$ ($\angle AH{F}_1=\angle AH{F}_2=90^{\circ }$).

За теоремою Піфагора виразимо квадрат спільного катета $h^2=A{H}^2$ з обох прямокутних трикутників:

• Із $△AH{F}_1$:
  $h^2=A{F}_1^2-H{F}_1^2=(3x{)}^2-9^2=9x^2-81$

• Із $△AH{F}_2$:
  $h^2=A{F}_2^2-H{F}_2^2=(4x{)}^2-16^2=16x^2-256$

3. Знаходження довжин похилих та перпендикуляра

Прирівняємо вирази для $h^2$:
$16x^2-256=9x^2-81$

Перенесемо доданки зі змінною в одну частину, а числові значення — в іншу:
$16x^2-9x^2=256-81$
$7x^2=175$
$x^2=\frac{175}{7}$
$x^2=25$

Оскільки довжина є додатним числом, маємо:
$x=5$

Обчислимо довжини похилих:
$l_1=3\cdot 5=15\text{ см}$
$l_2=4\cdot 5=20\text{ см}$

Знайдемо відстань від точки до площини $h$:
$h=\sqrt{9x^2-81}=\sqrt{9\cdot 25-81}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{ см}$

Відповідь: $15\text{ см}$, $20\text{ см}$, $12\text{ см}$.