Завдання № 12. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть радіуси вписаного у правильний шестикутник та описаного навколо нього кіл, сума яких дорівнює $8\sqrt{3}\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай сторона правильного шестикутника дорівнює $a$.

1. Вираження радіусів через сторону правильного шестикутника
Правильний шестикутник складається з шести рівних правильних трикутників зі стороною $a$:

• Радіус описаного навколо правильного шестикутника кола дорівнює його стороні:
  $R=a$
• Радіус вписаного у правильний шестикутник кола є висотою одного з таких рівносторонніх трикутників:
  $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Складання рівняння за умовою задачі
За умовою задачі сума радіусів вписаного та описаного кіл становить $8\sqrt{3}\text{ см}$:
$R+r=8\sqrt{3}$

Підставимо вирази для радіусів через $a$:
$a+\frac{a\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$

Винесемо сторону $a$ за дужки та зведемо до спільного знаменника:
$a\cdot \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=8\sqrt{3}$
$a\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$:
$a\cdot (2+\sqrt{3})=16\sqrt{3}$

Виразимо $a$:
$a=\frac{16\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $(2-\sqrt{3})$:
$a=\frac{16\sqrt{3}\cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$a=\frac{32\sqrt{3}-16\cdot 3}{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}$
$a=\frac{32\sqrt{3}-48}{4-3}=32\sqrt{3}-48\text{ (см)}$

3. Обчислення радіусів

• Радіус описаного кола:
  $R=a=(32\sqrt{3}-48)\text{ см}$

• Радіус вписаного кола:
  $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{(32\sqrt{3}-48)\cdot \sqrt{3}}{2}$
  $r=\frac{32\cdot 3-48\sqrt{3}}{2}=\frac{96-48\sqrt{3}}{2}=(48-24\sqrt{3})\text{ см}$

Відповідь:
$(48-24\sqrt{3})\text{ см}$ і $(32\sqrt{3}-48)\text{ см}$.