Завдання № 12. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як:

1) $7 : 4 : 3 : 6$ ;

2) $5 : 8 : 4 : 2$ ?

Покроковий розв’язок:

За теоремою про чотирикутник, описаний навколо кола, коло можна вписати в опуклий чотирикутник тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.

Якщо сторони чотирикутника, взяті в порядку слідування, позначити як $a$ , $b$ , $c$ та $d$ , то сторони $a$ і $c$ є протилежними, так само як і сторони $b$ і $d$ .

Отже, необхідною і достатньою умовою є виконання рівності:
$a + c = b + d$

1. Дослідження першого випадку (відношення $7 : 4 : 3 : 6$ )

Введемо коефіцієнт пропорційності $x > 0$ . Тоді довжини сторін чотирикутника в порядку слідування дорівнюють:
$a = 7 x, b = 4 x, c = 3 x, d = 6 x$

Знайдемо суми його протилежних сторін:
$a + c = 7 x + 3 x = 10 x$
$b + d = 4 x + 6 x = 10 x$

Оскільки суми протилежних сторін рівні ( $10 x = 10 x$ ), а найбільша сторона $7 x$ менша за суму трьох інших сторін ( $4 x + 3 x + 6 x = 13 x$ , отже, такий опуклий чотирикутник існує), то в цей чотирикутник вписати коло можна.

2. Дослідження другого випадку (відношення $5 : 8 : 4 : 2$ )

Введемо коефіцієнт пропорційності $x > 0$ . Тоді довжини сторін чотирикутника в порядку слідування дорівнюють:
$a = 5 x, b = 8 x, c = 4 x, d = 2 x$

Обчислимо суми довжин протилежних сторін:
$a + c = 5 x + 4 x = 9 x$
$b + d = 8 x + 2 x = 10 x$

Порівняємо отримані результати:
$9 x \neq = 10 x$

Оскільки суми протилежних сторін не рівні, вписати коло в такий чотирикутник не можна.

Відповідь:

1) Можна;

2) не можна.

Завдання № 12. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку