Завдання № 12. Домашня самостійна робота 5 (§§ 18–24) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметри двох подібних трикутників відносяться як $2:3$, а сума їхніх найбільших сторін дорівнює $30\text{ см}$. Знайдіть периметр другого трикутника, якщо сторони першого відносяться як $4:5:6$.

А. $30\text{ см}$
Б. $40\text{ см}$
В. $45\text{ см}$
Г. $60\text{ см}$

Покроковий розв’язок:

1. Визначення сторін першого трикутника
За умовою сторони першого трикутника відносяться як $4:5:6$. Нехай $x$ — коефіцієнт пропорційності ($x>0$). Тоді сторони першого трикутника дорівнюють:
$a_1=4x,b_1=5x,c_1=6x$

Найбільшою стороною першого трикутника є сторона $c_1=6x$.

Периметр першого трикутника:
$P_1=4x+5x+6x=15x$

2. Знаходження найбільшої сторони другого трикутника
За властивістю подібних трикутників відношення відповідних лінійних елементів (зокрема сторін) дорівнює відношенню їхніх периметрів:
$\frac{P_1}{P_2}=\frac{2}{3}$

Отже, коефіцієнт подібності другого трикутника до першого становить:
$k=\frac{P_2}{P_1}=\frac{3}{2}=1,5$

Відповідна найбільша сторона другого трикутника дорівнює:
$c_2=k\cdot c_1=1,5\cdot 6x=9x$

3. Складання рівняння та знаходження невідомого $x$
За умовою сума найбільших сторін обох трикутників дорівнює $30\text{ см}$:
$c_1+c_2=30$
$6x+9x=30$
$15x=30$
$x=\frac{30}{15}$
$x=2$

4. Обчислення периметра другого трикутника
Периметр першого трикутника:
$P_1=15x=15\cdot 2=30\text{ см}$

Периметр другого трикутника обчислюємо через відношення периметрів:
$P_2=k\cdot P_1=1,5\cdot 30=45\text{ см}$

(Або додаванням усіх сторін другого трикутника: $a_2=1,5\cdot 4\cdot 2=12\text{ см}$, $b_2=1,5\cdot 5\cdot 2=15\text{ см}$, $c_2=1,5\cdot 6\cdot 2=18\text{ см}$, звідки $P_2=12+15+18=45\text{ см}$).

Відповідь: В. $45\text{ см}$