Завдання № 12. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці хорди, $6\text{ см}$ завдовжки, ділять коло у відношенні $1:5$. Знайдіть площу меншого з утворених сегментів.

А. $36\pi {\text{ см}}^2$
Б. $(6\pi -9\sqrt{3}){\text{ см}}^2$
В. $(6\pi +9\sqrt{3}){\text{ см}}^2$
Г. $6\pi {\text{ см}}^2$

Покроковий розв’язок:

1. Визначення центрального кута, що спирається на хорду

Градусна міра всього кола становить $360^{\circ }$. Оскільки кінці хорди $AB$ ділять коло у відношенні $1:5$, коло розбивається на $1+5=6$ рівних частин.

Градусна міра меншої з утворених дуг дорівнює:

Центральний кут $\angle AOB$, що спирається на цю дугу, за властивістю центрального кута дорівнює її градусній мірі:

2. Знаходження радіуса кола

Розглянемо трикутник $△AOB$, де $OA$ та $OB$ — радіуси кола ($OA=OB=R$).

Трикутник $△AOB$ є рівнобедреним з основою $AB$. Оскільки кут при вершині дорівнює $60^{\circ }$, то кути при основі також дорівнюють:

Отже, трикутник $△AOB$ — рівносторонній, звідки:

3. Обчислення площі меншого кругового сегмента

Площа сегмента дорівнює різниці площ кругового сектора та рівностороннього трикутника $△AOB$:

Обчислимо площу кругового сектора з кутом $\alpha =60^{\circ }$:

Обчислимо площу рівностороннього трикутника зі стороною $a=6\text{ см}$:

Знаходимо шукану площу сегмента:

Відповідь: Б. $(6\pi -9\sqrt{3}){\text{ см}}^2$