Завдання № 12. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $7\text{ см}$ і $9\text{ см}$, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює $4\text{ см}$. Знайдіть менший з відрізків, на які бісектриса трикутника ділить цю сторону.
А. $6,125\text{ см}$
Б. $6,5\text{ см}$
В. $6\text{ см}$
Г. $7,875\text{ см}$

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третьої сторони трикутника

Розглянемо $△ABC$, у якого сторони $AB=7\text{ см}$, $AC=9\text{ см}$, а відрізок $AK=4\text{ см}$ є медіаною, проведеною до сторони $BC$.

За формулою довжини медіани трикутника через його сторони:
$A{K}^2=\frac{2\cdot A{B}^2+2\cdot A{C}^2-B{C}^2}{4}$

Підставимо відомі числові значення:
$4^2=\frac{2\cdot 7^2+2\cdot 9^2-B{C}^2}{4}$

$16=\frac{2\cdot 49+2\cdot 81-B{C}^2}{4}$

$16=\frac{98+162-B{C}^2}{4}$

$16=\frac{260-B{C}^2}{4}$

Помножимо обидві частини рівняння на $4$:
$64=260-B{C}^2$

$B{C}^2=260-64$

$B{C}^2=196$

Оскільки довжина сторони є додатним числом:
$BC=\sqrt{196}=14\text{ см}$

2. Знаходження відрізків, на які сторону ділить бісектриса

Нехай $AL$ — бісектриса трикутника $ABC$, проведена з вершини $A$ до сторони $BC$ ($L\in BC$).

За властивістю бісектриси трикутника, вона ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом прилеглим сторонам:
$\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{9}$

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$, тоді довжини відрізків становлять $BL=7x\text{ см}$, а $LC=9x\text{ см}$.

Складемо рівняння для довжини сторони $BC$:
$BL+LC=BC$

$7x+9x=14$

$16x=14$

$x=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$

Знайдемо довжину меншого відрізка $BL$:
$BL=7x=7\cdot \frac{7}{8}=\frac{49}{8}=6,125\text{ см}$

Відповідь:
А. $6,125\text{ см}$