Завдання № 12. Домашня самостійна робота 2 (§§6–10) (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Дано: $∣ a ∣ = 22$ , $∣ b ∣ = 1$ , $∠ (a, b) = 4 5^{\circ}$ . Знайдіть значення виразу $∣2 a - b ∣$ .

А. $5$
Б. $4$
В. $42 - 1$
Г. $3$

Покроковий розв’язок:

1. Використання властивості скалярного квадрата вектора

Для будь-якого вектора $c$ квадрат його модуля дорівнює його скалярному квадрату: $∣ c ∣^{2} = c^{2}$ .

Звідси для вектора $2 a - b$ маємо:

∣2 a - b ∣^{2} = (2 a - b)^{2}

За формулою квадрата різниці та властивостями скалярного добутку векторів розкриємо дужки:

(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 (a \cdot b) + b^{2}

Оскільки скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини ( $a^{2} = ∣ a ∣^{2}$ та $b^{2} = ∣ b ∣^{2}$ ), отримуємо:

∣2 a - b ∣^{2} = 4∣ a ∣^{2} - 4 (a \cdot b) + ∣ b ∣^{2}

2. Обчислення скалярного добутку векторів

За означенням скалярного добутку:

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos ∠ (a, b)

Підставимо відомі значення:

a \cdot b = 22 \cdot 1 \cdot cos 4 5^{\circ} = 22 \cdot \frac{2}{2} = 2

3. Обчислення довжини шуканого вектора

Підставимо всі знайдені величини у формулу квадрата модуля:

∣2 a - b ∣^{2} = 4 \cdot (22)^{2} - 4 \cdot 2 + 1^{2} = 4 \cdot 8 - 8 + 1 = 32 - 8 + 1 = 25

Знаходимо модуль вектора (оскільки довжина вектора є величиною невід’ємною):

∣2 a - b ∣ = 25 = 5

Отримане значення відповідає варіанту А.

Відповідь: А. $5$