Завдання № 12.9. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ сторона $AB=\sqrt{2}\text{ см}$, $\angle A=15^{\circ }$, $\angle C=135^{\circ }$. Знайдіть довжину сторони $AC$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третього кута трикутника

За теоремою про суму кутів трикутника, сума всіх внутрішніх кутів $△ABC$ дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

Звідси обчислимо градусну міру кута $B$:
$\angle B=180^{\circ }-(\angle A+\angle C)=180^{\circ }-(15^{\circ }+135^{\circ })=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$

2. Застосування теореми синусів

За теоремою синусів для $△ABC$, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}$

Виразимо шукану сторону $AC$:
$AC=\frac{AB\cdot \sin \angle B}{\sin \angle C}$

3. Обчислення довжини сторони $AC$

Використаємо табличні значення тригонометричних функцій:

• $\sin \angle B=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$
• $\sin \angle C=\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Підставимо ці значення у формулу:
$AC=\frac{\sqrt{2}\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 135^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1\text{ (см)}$

Відповідь: $1\text{ см}$.