Завдання № 12.6. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Знайдіть відношення сторони $A C$ до сторони $A B$ .

Покроковий розв’язок:

1. Використання теореми синусів

За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

\frac{A C}{sin ∠ B} = \frac{A B}{sin ∠ C}

2. Знаходження шуканого відношення

Виразимо відношення сторони $A C$ до сторони $A B$ :

\frac{A C}{A B} = \frac{sin ∠ B}{sin ∠ C}

Підставимо відомі значення кутів $∠ B = 3 0^{\circ}$ та $∠ C = 6 0^{\circ}$ :

\frac{A C}{A B} = \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}}

Оскільки $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , а $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , отримуємо:

\frac{A C}{A B} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на $3$ :

\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{3}

Відповідь: $\frac{3}{3}$ (або $1 : 3$ ).