Завдання № 12.39. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Із деякої точки кола, описаного навколо прямокутника, проведено перпендикуляри до його діагоналей. Доведіть, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано прямокутник $ABCD$, діагоналі якого $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$. Точка $O$ є центром описаного навколо прямокутника кола, а радіус цього кола дорівнює:

Нехай $N$ — довільна точка даного кола. З точки $N$ опущено перпендикуляри:

• $NM\perp BD$, де $M\in BD$;
• $NL\perp AC$, де $L\in AC$.

Необхідно довести, що довжина відрізка $ML$ є сталою для заданого прямокутника ($ML=\text{const}$) і не залежить від вибору точки $N$ на колі.

1. Коло, описане навколо чотирикутника $NMLO$

Розглянемо чотирикутник $NMLO$. За умовою побудови перпендикулярів:

Знайдемо суму протилежних кутів чотирикутника:

Оскільки сума протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$, навколо чотирикутника $NMLO$ можна описати коло.

Крім того, оскільки прямокутні трикутники $△NMO$ та $△NLO$ спираються на спільну гіпотенузу $NO$, цей відрізок $NO$ є діаметром описаного навколо чотирикутника $NMLO$ кола:

2. Застосування узагальненої теореми синусів

Усі чотири точки $N,M,O,L$ лежать на одному колі з діаметром $NO$.

Розглянемо трикутник $△MOL$. Він вписаний у це коло, а відрізок $ML$ є його стороною (хордою кола). За наслідком із теореми синусів (відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола):

Звідси виразимо довжину шуканого відрізка $ML$:

3. Аналіз сталості значень величин

Проаналізуємо обидва множники, від яких залежить довжина відрізка $ML$:

1) Точка $N$ лежить на колі, описаному навколо прямокутника $ABCD$, а точка $O$ — центр цього кола. Отже, довжина відрізка $NO$ дорівнює радіусу $R$ описаного навколо прямокутника кола:

2) Кут $\angle MOL$ утворений прямими, що містять діагоналі прямокутника $ABCD$ (оскільки $M\in BD$, $L\in AC$, а $O$ — точка їх перетину). Кут між діагоналями прямокутника $\phi$ є фіксованою величиною, яка залежить лише від розмірів прямокутника:

Отже, довжина відрізка $ML$ дорівнює:

Оскільки значення $R$ і $\phi$ залежать виключно від параметрів початкового прямокутника $ABCD$, величина $ML$ залишається незмінною за будь-якого положення точки $N$ на колі, що й треба було довести.

Відповідь: Доведено, що довжина відрізка $ML=R\cdot \sin \phi$, де $R$ — радіус кола, описаного навколо прямокутника, а $\phi$ — кут між його діагоналями, тобто шукана відстань є сталою величиною і не залежить від положення точки $N$ на колі.