Завдання № 12.38. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Яся на моноколесі від будинку в напрямку на захід проїхала $550\text{ м}$. Потім повернула на північ і проїхала $300\text{ м}$. Після цього повернула на схід і подолала ще $150\text{ м}$. Під яким кутом до напрямку на схід вона має рухатися, щоб повернутися додому? У відповіді вкажіть ціле число градусів.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична інтерпретація руху

Змоделюємо переміщення Ясі за сторонами горизонту:

• Нехай початкова точка (будинок) — це точка $O$.
• Рух на захід на $550\text{ м}$: потрапляємо в точку $A$, при цьому $OA=550\text{ м}$.
• Поворот на північ на $300\text{ м}$: рух перпендикулярно на північ до точки $B$, $AB=300\text{ м}$ ($AB\perp OA$).
• Поворот на схід на $150\text{ м}$: рух праворуч (паралельно до прямої $OA$) до точки $C$, $BC=150\text{ м}$.

2. Побудова прямокутного трикутника

Продовжимо промінь з точки $C$ у напрямку на схід до перетину з вертикальною прямою, що проходить через точку $O$ (будинок). Нехай точка їхнього перетину — $D$.

Утворився прямокутний трикутник $△CDO$ ($\angle CDO=90^{\circ }$):

1) Катет $CD$ спрямований на схід. Його довжина дорівнює різниці відстаней уздовж осі «захід — схід»:
$CD=OA-BC=550-150=400\text{ (м)}$

2) Катет $DO$ спрямований на південь. Оскільки відрізок $AB$ був спрямований строго на північ, то:
$DO=AB=300\text{ (м)}$

Шуканий кут між напрямком на схід (променем $CD$) та напрямком повернення додому (відрізком $CO$) — це гострий кут $\angle DCO$. Позначимо його через $\alpha$.

3. Знаходження шуканого кута

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{DO}{CD}$

Підставимо відомі значення довжин катетів:
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{300}{400}=\frac{3}{4}=0,75$

Знайдемо градусну міру кута $\alpha$ за допомогою арктангенса:
$\alpha =\mathrm{arctg}(0,75)\approx 36,87^{\circ }$

Округлимо отримане значення до цілого числа градусів:
$\alpha \approx 37^{\circ }$

Відповідь: $37^{\circ }$.