Завдання № 12.36. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямокутному трикутнику $ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$. Розв’яжіть трикутник, якщо:

1) $AB=8\text{ см}$, $\angle A=30^{\circ }$;

2) $AC=4\text{ см}$, $\angle B=45^{\circ }$;

3) $AC=10\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$;

4) $AC=2\text{ см}$, $BC=2\sqrt{3}\text{ см}$;

5) $AB=2\text{ см}$, $BC=\sqrt{3}\text{ см}$;

6) $AC=3\text{ см}$, $AB=6\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Розв’язати прямокутний трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути за відомими елементами.

1) Дано гіпотенузу $AB=8\text{ см}$ і гострий кут $\angle A=30^{\circ }$:

• Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, маємо:
  $\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$
• За означенням тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника:
  $BC=AB\cdot \sin \angle A=8\cdot \sin 30^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4\text{ см}$
  $AC=AB\cdot \cos \angle A=8\cdot \cos 30^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}$

2) Дано катет $AC=4\text{ см}$ і гострий кут $\angle B=45^{\circ }$:

• Знаходимо другий гострий кут:
  $\angle A=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$
• Оскільки $\angle A=\angle B=45^{\circ }$, трикутник $ABC$ є рівнобедреним, отже:
  $BC=AC=4\text{ см}$
• За теоремою Піфагора або через синус кута знаходимо гіпотенузу:
  $AB=\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{4}{\sin 45^{\circ }}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\text{ см}$

3) Дано катет $AC=10\text{ см}$ і гострий кут $\angle A=60^{\circ }$:

• Знаходимо другий гострий кут:
  $\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$
• За означенням косинуса гострого кута:
  $AB=\frac{AC}{\cos \angle A}=\frac{10}{\cos 60^{\circ }}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20\text{ см}$
• За означенням тангенса гострого кута:
  $BC=AC\cdot \mathrm{tg}\angle A=10\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=10\sqrt{3}\text{ см}$

4) Дано два катети $AC=2\text{ см}$ і $BC=2\sqrt{3}\text{ см}$:

• За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу:
  $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4\text{ см}$
• За означенням тангенса:
  $\mathrm{tg}\angle A=\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}⟹\angle A=60^{\circ }$
• Знаходимо другий гострий кут:
  $\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

5) Дано гіпотенузу $AB=2\text{ см}$ і катет $BC=\sqrt{3}\text{ см}$:

• За теоремою Піфагора знаходимо невідомий катет:
  $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1\text{ см}$
• За означенням синуса:
  $\sin \angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\angle A=60^{\circ }$
• Знаходимо другий гострий кут:
  $\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

6) Дано катет $AC=3\text{ см}$ і гіпотенузу $AB=6\text{ см}$:

• За теоремою Піфагора знаходимо другий катет:
  $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}$
• За означенням косинуса:
  $\cos \angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}⟹\angle A=60^{\circ }$
• Знаходимо другий гострий кут:
  $\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

Відповідь:

1) $\angle B=60^{\circ }$, $BC=4\text{ см}$, $AC=4\sqrt{3}\text{ см}$;

2) $\angle A=45^{\circ }$, $BC=4\text{ см}$, $AB=4\sqrt{2}\text{ см}$;

3) $\angle B=30^{\circ }$, $BC=10\sqrt{3}\text{ см}$, $AB=20\text{ см}$;

4) $AB=4\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$, $\angle B=30^{\circ }$;

5) $AC=1\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$, $\angle B=30^{\circ }$;

6) $BC=3\sqrt{3}\text{ см}$, $\angle A=60^{\circ }$, $\angle B=30^{\circ }$.