Завдання № 12.35. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Катети прямокутного трикутника дорівнюють $a см$ і $b см$ . Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз фігури
Нехай дано прямокутний трикутник $△ A B C$ , де $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = a см$ , $B C = b см$ .
З прямого кута $C$ до гіпотенузи $A B$ проведено висоту $C K ⊥ A B$ ( $K \in A B$ ).
Висота ділить вихідний трикутник на два прямокутні трикутники: $△ A C K$ та $△ C B K$ .

2. Визначення тригонометричних співвідношень
Позначимо гострий кут при вершині $A$ через $α$ :

∠ A = α

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $9 0^{\circ}$ , то в $△ A B C$ :

∠ B = 9 0^{\circ} - α

3. Знаходження площі прямокутного трикутника $△ A C K$
Розглянемо прямокутний трикутник $△ A C K$ ( $∠ C K A = 9 0^{\circ}$ ):
Гіпотенуза $A C = a$ , кут $∠ C A K = α$ .
За означеннями тригонометричних функцій знайдемо катети:

A K = A C \cdot cos α = a \cdot cos α C K = A C \cdot sin α = a \cdot sin α

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

S_{△ A C K} = \frac{1}{2} \cdot A K \cdot C K = \frac{1}{2} \cdot a \cdot cos α \cdot a \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot sin α \cdot cos α

4. Знаходження площі прямокутного трикутника $△ C B K$
Розглянемо прямокутний трикутник $△ C B K$ ( $∠ C K B = 9 0^{\circ}$ ):
Гіпотенуза $C B = b$ .
Гострий кут $∠ B C K = 9 0^{\circ} - ∠ B = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - α) = α$ .
Катети трикутника дорівнюють:

C K = C B \cdot cos α = b \cdot cos α B K = C B \cdot sin α = b \cdot sin α

Обчислимо площу:

S_{△ C B K} = \frac{1}{2} \cdot B K \cdot C K = \frac{1}{2} \cdot b \cdot sin α \cdot b \cdot cos α = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin α \cdot cos α

5. Знаходження відношення площ
Обчислимо відношення площі трикутника $△ A C K$ до площі трикутника $△ C B K$ :

\frac{S _{△ A C K}}{S _{△ C B K}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a ^{2} \cdot sin α \cdot cos α}{\frac{1}{2} \cdot b ^{2} \cdot sin α \cdot cos α} = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}

(Примітка: цей самий результат можна отримати з подібності трикутників: оскільки $△ A C K \sim △ C B K$ , відношення їхніх площ дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, тобто квадрату відношення відповідних гіпотенуз $(\frac{A C}{B C})^{2} = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$ ).

Відповідь:
$a^{2} : b^{2}$ (або $b^{2} : a^{2}$ )

Завдання № 12.35. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку