Завдання № 12.34. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює $a$, а одна з діагоналей — $d$.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості діагоналей ромба
Нехай дано ромб $ABCD$, сторона якого дорівнює $a$ ($AB=BC=CD=AD=a$), а діагональ $AC=d$. Точку перетину діагоналей позначимо як $O$.

За властивістю ромба, його діагоналі взаємно перпендикулярні ($AC\perp BD$) і точкою перетину діляться навпіл:
$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{d}{2},BO=OD=\frac{BD}{2}$

2. Знаходження другої діагоналі ромба
Розглянемо трикутник $△AOD$. Оскільки $AC\perp BD$, то $\angle AOD=90^{\circ }$, отже, трикутник $△AOD$ — прямокутний із гіпотенузою $AD=a$ та катетом $AO=\frac{d}{2}$.

За теоремою Піфагора для $△AOD$:
$O{D}^2=A{D}^2-A{O}^2$

Підставимо відомі вирази:
$O{D}^2=a^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2=a^2-\frac{d^2}{4}=\frac{4a^2-d^2}{4}$

Звідси довжина відрізка $OD$:
$OD=\sqrt{\frac{4a^2-d^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-d^2}}{2}$

Тоді друга діагональ ромба $BD$ дорівнює:
$BD=2\cdot OD=2\cdot \frac{\sqrt{4a^2-d^2}}{2}=\sqrt{4a^2-d^2}$

3. Обчислення площі ромба
Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей:
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$

Підставимо знайдені значення:
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot \sqrt{4a^2-d^2}=\frac{d}{2}\sqrt{4a^2-d^2}$

Відповідь: $\frac{d}{2}\sqrt{4a^2-d^2}$