Завдання № 12.33. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Один з кутів паралелограма вдвічі менший від іншого. Знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо його сторони дорівнюють $5\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо кути паралелограма
Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якого $AB=5\text{ см}$, $AD=8\text{ см}$.
Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $AB\parallel CD$ та січній $AD$).
Оскільки один із кутів удвічі менший від іншого, вони не можуть бути протилежними (протилежні кути рівні), отже, вони є сусідніми.

Нехай менший кут $\angle A=x$, тоді більший кут $\angle B=2x$.
Складемо рівняння:
$x+2x=180^{\circ }$
$3x=180^{\circ }$
$x=60^{\circ }$

Таким чином:
$\angle A=\angle C=60^{\circ }$,
$\angle B=\angle D=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$.

2. Визначення меншої діагоналі
У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута, тобто навпроти кута $\angle A=60^{\circ }$. Шуканою меншою діагоналлю є відрізок $BD$.

3. Обчислення довжини діагоналі $BD$
Розглянемо $△ABD$. У ньому відомі дві сторони $AB=5\text{ см}$, $AD=8\text{ см}$ та кут між ними $\angle A=60^{\circ }$.
За теоремою косинусів:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A$

Підставимо числові дані:

Звідси:
$BD=\sqrt{49}=7\text{ см}$

Відповідь:
$7\text{ см}$