Завдання № 12.31. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямокутному трикутнику довжина гіпотенузи дорівнює $c$, а градусна міра одного з гострих кутів — $\alpha$. Знайдіть довжину бісектриси трикутника, що виходить з вершини прямого кута.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення елементів прямокутного трикутника

Нехай задано прямокутний трикутник $△ABC$, у якому $\angle C=90^{\circ }$, гіпотенуза $AB=c$, гострий кут $\angle A=\alpha$. Відрізок $CK$ — бісектриса прямого кута $\angle C$, де точка $K$ належить гіпотенузі $AB$.

Із прямокутного трикутника $△ABC$ за означенням косинуса гострого кута:
$AC=AB\cdot \cos \alpha =c\cdot \cos \alpha$

2. Обчислення кутів у трикутнику $△ACK$

Оскільки $CK$ є бісектрисою прямого кута $\angle C=90^{\circ }$, вона ділить його навпіл:
$\angle ACK=\frac{\angle C}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Розглянемо трикутник $△ACK$. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$, отже:
$\angle AKC=180^{\circ }-(\angle A+\angle ACK)=180^{\circ }-(\alpha +45^{\circ })$

3. Знаходження довжини бісектриси $CK$

За теоремою синусів для трикутника $△ACK$:
$\frac{CK}{\sin \angle A}=\frac{AC}{\sin \angle AKC}$

Звідси виразимо довжину бісектриси $CK$:
$CK=\frac{AC\cdot \sin \angle A}{\sin \angle AKC}=\frac{c\cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha }{\sin (180^{\circ }-(45^{\circ }+\alpha ))}$

Використовуючи формулу зведення $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, отримуємо:
$\sin (180^{\circ }-(45^{\circ }+\alpha ))=\sin (45^{\circ }+\alpha )$

Отже:
$CK=\frac{c\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha }{\sin (45^{\circ }+\alpha )}$

Відповідь: $\frac{c\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha }{\sin (45^{\circ }+\alpha )}$