Завдання № 12.30. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює $m$ , а кут при основі — $α$ . Знайдіть довжину бісектриси кута при основі.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобедрений трикутник $A B C$ , у якому $A B = B C$ , основа $A C = m$ , а кути при основі $∠ B A C = ∠ B C A = α$ . Проведемо бісектрису $A K$ кута $A$ ( $K \in B C$ ).

1. Визначення кутів у трикутнику $△ A K C$

Оскільки відрізок $A K$ є бісектрисою кута $∠ B A C = α$ , вона ділить його навпіл:
$∠ K A C = \frac{∠ B A C}{2} = \frac{α}{2}$

Кут $∠ C$ трикутника дорівнює куту при основі рівнобедреного трикутника:
$∠ K C A = α$

За теоремою про суму кутів трикутника в $△ A K C$ :
$∠ A K C = 18 0^{\circ} - (∠ K A C + ∠ K C A) = 18 0^{\circ} - (\frac{α}{2} + α) = 18 0^{\circ} - \frac{3 α}{2}$

2. Застосування теореми синусів

Застосуємо теорему синусів для $△ A K C$ :
$\frac{A K}{sin ∠ K C A} = \frac{A C}{sin ∠ A K C}$

Підставимо відомі величини:
$\frac{A K}{sin α} = \frac{m}{sin ( 18 0 ^{\circ} - \frac{3 α}{2} )}$

За формулою зведення $sin (18 0^{\circ} - β) = sin β$ , тому:
$sin (18 0^{\circ} - \frac{3 α}{2}) = sin \frac{3 α}{2}$

Отримуємо:
$\frac{A K}{sin α} = \frac{m}{sin \frac{3 α}{2}}$

3. Знаходження довжини бісектриси $A K$

Виразимо шукану довжину відрізка $A K$ :
$A K = \frac{m \cdot sin α}{sin \frac{3 α}{2}}$

Відповідь: $\frac{m \cdot sin α}{sin \frac{3 α}{2}}$

Завдання № 12.30. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку