Завдання № 12.29. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Одна з діагоналей паралелограма дорівнює $d$ і ділить його кут на частини, міри яких дорівнюють $α$ і $β$ . Знайдіть периметр паралелограма.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення кутів трикутника

Нехай $A B C D$ — даний паралелограм, у якому діагональ $A C = d$ ділить кут $A$ на два кути: $∠ B A C = α$ та $∠ C A D = β$ .

Оскільки протилежні сторони паралелограма паралельні ( $B C ∥ A D$ ), то за властивістю внутрішніх різносторонніх кутів при січній $A C$ :

∠ B C A = ∠ C A D = β

Розглянемо $△ A B C$ . Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , отже:

∠ A B C = 18 0^{\circ} - (∠ B A C + ∠ B C A) = 18 0^{\circ} - (α + β)

2. Знаходження сторін паралелограма за теоремою синусів

За формулою зведення маємо:

sin (18 0^{\circ} - (α + β)) = sin (α + β)

Застосуємо теорему синусів для $△ A B C$ :

\frac{A B}{sin ∠ B C A} = \frac{B C}{sin ∠ B A C} = \frac{A C}{sin ∠ A B C}

Підставимо відомі значення величин:

\frac{A B}{sin β} = \frac{B C}{sin α} = \frac{d}{sin ( α + β )}

Звідси виразимо довжини сусідніх сторін $A B$ та $B C$ :

A B = \frac{d \cdot sin β}{sin ( α + β )}

B C = \frac{d \cdot sin α}{sin ( α + β )}

3. Обчислення периметра паралелограма

Оскільки протилежні сторони паралелограма попарно рівні ( $A B = C D$ і $B C = A D$ ), периметр дорівнює подвоєній сумі його сусідніх сторін:

P_{A B C D} = 2 \cdot (A B + B C) = 2 \cdot (\frac{d \cdot sin β}{sin ( α + β )} + \frac{d \cdot sin α}{sin ( α + β )}) = = \frac{2 \cdot d \cdot ( sin α + sin β )}{sin ( α + β )}

Відповідь:
$\frac{2 \cdot d \cdot ( sin α + sin β )}{sin ( α + β )}$