Завдання № 12.28. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $3\text{ см}$ і $8\text{ см}$. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного навколо трикутника кола як $\sqrt{3}:1$. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

Позначимо відомі сторони трикутника як $a=3\text{ см}$, $b=8\text{ см}$, а невідому третю сторону — як $c$. Нехай $R$ — радіус кола, описаного навколо цього трикутника, а $\angle C$ — кут трикутника, протилежний стороні $c$.

1. Знаходження кута $\angle C$ за наслідком з теореми синусів

За умовою задачі відношення третьої сторони до радіуса описаного кола дорівнює:

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола ($2R$):

Виразимо $\sin \angle C$:

Оскільки кут трикутника належить проміжку $(0^{\circ };180^{\circ })$, рівняння $\sin \angle C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ має два можливі значення:

Отже, задача розпадається на два випадки.

2. Обчислення третьої сторони $c$ за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони $c$:

Випадок 1: $\angle C=60^{\circ }$

Підставимо відомі значення сторін і косинус кута $\cos 60^{\circ }=0,5$:

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $3\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $7\text{ см}$:
$3+7=10>8$ — трикутник існує.

Випадок 2: $\angle C=120^{\circ }$

Підставимо відомі значення сторін і косинус тупого кута $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-0,5$:

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $3\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $\sqrt{97}\text{ см}$ ($\sqrt{97}\approx 9,85\text{ см}$):
$3+8=11>\sqrt{97}$ — такий трикутник також існує.

Обидва випадки геометрично можливі, отже, задача має два розв’язки.

Відповідь: $7\text{ см}$ або $\sqrt{97}\text{ см}$; задача має $2$ розв’язки.