Завдання № 12.27. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона $AB$ трикутника $ABC$ на $1\text{ см}$ більша за сторону $AC$. Знайдіть сторони $AB$ і $AC$, якщо $\angle C=60^{\circ }$, $\angle B=45^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної
Нехай довжина сторони $AC=x\text{ см}$.
Оскільки сторона $AB$ на $1\text{ см}$ більша за $AC$, її довжина становить:
$AB=(x+1)\text{ см}$

2. Застосування теореми синусів
За теоремою синусів для $△ABC$:
$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}$

Підставимо відомі значення величин кутів та вирази для сторін:
$\frac{x+1}{\sin 60^{\circ }}=\frac{x}{\sin 45^{\circ }}$

Оскільки $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ та $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{x+1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Помноживши обидві частини рівняння на $\frac{1}{2}$, отримаємо:
$\frac{x+1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$

3. Розв’язування лінійного рівняння
Скористаємося основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):
$(x+1)\cdot \sqrt{2}=x\cdot \sqrt{3}$
$x\sqrt{2}+\sqrt{2}=x\sqrt{3}$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ в одну сторону:
$x\sqrt{3}-x\sqrt{2}=\sqrt{2}$
$x(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{2}$
$x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$:
$x=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+2}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{6}+2}{3-2}=\sqrt{6}+2$

4. Обчислення шуканих сторін
Отже, довжина сторони $AC$:
$AC=(\sqrt{6}+2)\text{ см}$

Тоді довжина сторони $AB$:
$AB=x+1=\sqrt{6}+2+1=(\sqrt{6}+3)\text{ см}$

Відповідь: $AC=(\sqrt{6}+2)\text{ см}$, $AB=(\sqrt{6}+3)\text{ см}$.