Завдання № 12.26. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, у якого кут при основі дорівнює $30^{\circ }$, а основа більша за бічну сторону на $2\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінних та аналіз кутів трикутника
Нехай дано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якому бічні сторони рівні: $AB=BC$.
Позначимо довжину бічної сторони через $x\text{ см}$ ($x>0$), тоді довжина основи:
$AC=(x+2)\text{ см}$

За умовою кут при основі дорівнює $30^{\circ }$. Оскільки в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, маємо:
$\angle A=\angle C=30^{\circ }$

Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$. Звідси знайдемо кут $\angle B$, протилежний основі:
$\angle B=180^{\circ }-(\angle A+\angle C)=180^{\circ }-(30^{\circ }+30^{\circ })=120^{\circ }$

2. Знаходження невідомої сторони за теоремою синусів
За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}$

Підставимо відомі значення та вирази:
$\frac{x+2}{\sin 120^{\circ }}=\frac{x}{\sin 30^{\circ }}$

Враховуючи, що $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, отримаємо:
$\frac{x+2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x}{\frac{1}{2}}$

Помножимо обидві частини рівняння на $\frac{1}{2}$:
$\frac{x+2}{\sqrt{3}}=x$

Помножимо обидві частини на $\sqrt{3}$:
$x+2=x\sqrt{3}$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ в один бік:
$x\sqrt{3}-x=2$
$x(\sqrt{3}-1)=2$
$x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $(\sqrt{3}+1)$:
$x=\frac{2\cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\cdot (\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{2\cdot (\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1\text{ (см)}$

Таким чином, бічні сторони трикутника дорівнюють:
$AB=BC=(\sqrt{3}+1)\text{ см}$

Основа трикутника дорівнює:
$AC=x+2=\sqrt{3}+1+2=(\sqrt{3}+3)\text{ см}$

3. Обчислення периметра трикутника
Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P=AB+BC+AC$
$P=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}+3)=(5+3\sqrt{3})\text{ см}$

Відповідь:
$(5+3\sqrt{3})\text{ см}$