Завдання № 12.25. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $2\sqrt{3}\text{ см}$ і $4\text{ см}$, а кут між ними — $30^{\circ }$. Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Покроковий розв’язок:

Позначимо заданий трикутник як $△ABC$, де сторони $AC=2\sqrt{3}\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, а кут між ними $\angle C=30^{\circ }$.

1. Знаходження третьої сторони трикутника

За теоремою косинусів для сторони $AB$ трикутника $△ABC$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$

Підставимо відомі значення довжин сторін та косинуса кута $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Звідси знайдемо довжину сторони $AB$:
$AB=\sqrt{4}=2\text{ см}$

2. Обчислення радіуса описаного кола

За теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу $R$ описаного кола навколо цього трикутника:
$\frac{AB}{\sin \angle C}=2R$

Виразимо радіус $R$:
$R=\frac{AB}{2\cdot \sin \angle C}$

Оскільки $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, отримаємо:
$R=\frac{2}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{2}{1}=2\text{ см}$

Відповідь:
$2\text{ см}$