Завдання № 12.24. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $3\text{ см}$ і $8\text{ см}$, а кут між ними — $60^{\circ }$. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третьої сторони трикутника
Нехай у $△ABC$ сторона $AC=3\text{ см}$, сторона $BC=8\text{ см}$, а кут між ними $\angle C=60^{\circ }$.

За теоремою косинусів для сторони $AB$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$

Підставимо відомі числові значення:

2. Обчислення радіуса описаного кола
За наслідком з теореми синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола ($2R$):
$\frac{AB}{\sin \angle C}=2R$

Звідси виразимо радіус $R$:
$R=\frac{AB}{2\cdot \sin \angle C}$

Підставимо довжину сторони $AB=7\text{ см}$ та $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$R=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$:
$R=\frac{7\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\text{ см}$

Відповідь: $\frac{7\sqrt{3}}{3}\text{ см}$.