Завдання № 12.23. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Радіус описаного навколо рівнобічної трапеції кола дорівнює $62 см$ . Знайдіть довжину діагоналі трапеції, якщо один з її кутів дорівнює $13 5^{\circ}$ .

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між колом, описаним навколо трапеції, та трикутником

Нехай дано рівнобічну трапецію $A B C D$ ( $A B = C D$ ), вписану в коло радіуса $R = 62 см$ .

Оскільки всі вершини трапеції лежать на цьому колі, коло, описане навколо трапеції $A B C D$ , є також описаним колом для будь-якого трикутника, утвореного її вершинами, зокрема для $△ A B C$ .

2. Застосування теореми синусів

Один із тупих кутів трапеції дорівнює $13 5^{\circ}$ , отже, нехай $∠ A B C = 13 5^{\circ}$ .

У трикутнику $A B C$ сторона $A C$ є діагоналлю трапеції, яка лежить навпроти кута $B$ .

За теоремою синусів для $△ A B C$ :

\frac{A C}{sin ∠ B} = 2 R

Виразимо довжину діагоналі $A C$ :

A C = 2 R \cdot sin ∠ B

3. Обчислення довжини діагоналі

Враховуючи, що $sin 13 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , підставимо задані числові значення:

A C = 2 \cdot 62 \cdot sin 13 5^{\circ} = 122 \cdot \frac{2}{2} = 12 см

Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні ( $A C = B D$ ), довжина кожної діагоналі дорівнює $12 см$ .

Відповідь:
$12 см$

Завдання № 12.23. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку