Завдання № 12.22. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона трикутника дорівнює радіусу описаного навколо нього кола. Знайдіть кут, що лежить проти цієї сторони.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів
Нехай у трикутнику сторона дорівнює $a$, протилежний до неї кут — $\alpha$, а радіус описаного навколо трикутника кола — $R$.

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного навколо нього кола:

2. Обчислення синуса шуканого кута
За умовою задачі сторона трикутника дорівнює радіусу описаного кола, тобто $a=R$. Підставимо це значення у формулу:

Звідси виразимо $\sin \alpha$:

3. Визначення можливих значень кута
Оскільки $\alpha$ є кутом трикутника, його значення належить інтервалу $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$.

Рівняння $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ на цьому інтервалі має два розв’язки:

4. Геометрична інтерпретація
Оскільки хорда $BC=R$, то трикутник $BOC$ (де $O$ — центр кола) є рівностороннім ($OB=OC=BC=R$), а центральний кут $\angle BOC=60^{\circ }$.

Вершина кута, що лежить проти цієї сторони, може розміщуватися у двох положеннях:

1) На більшій дузі кола — тоді вписаний кут спирається на дугу $60^{\circ }$ і дорівнює половині відповідного центрального кута:

2) На меншій дузі кола — тоді чотирикутник $A_{1}B{A}_{2}C$ є вписаним, а протилежні кути вписаного чотирикутника в сумі дають $180^{\circ }$:

Отже, кут може бути як гострим ($30^{\circ }$), так і тупим ($150^{\circ }$).

Відповідь:
$30^{\circ }$ або $150^{\circ }$.