Завдання № 12.21. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона трикутника відноситься до радіуса описаного навколо трикутника кола як $\sqrt{2}:1$. Знайдіть кут, що лежить проти цієї сторони.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів

Нехай сторона трикутника дорівнює $a$, протилежний до неї кут — $\alpha$, а радіус описаного навколо трикутника кола — $R$.

За умовою задачі відношення сторони трикутника до радіуса описаного кола дорівнює $\sqrt{2}:1$:

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола:

2. Обчислення значення синуса шуканого кута

Підставимо вираз $a=R\sqrt{2}$ у формулу теореми синусів:

Виразимо $\sin \alpha$:

3. Знаходження величини кута

Оскільки $\alpha$ є кутом трикутника, його градусна міра задовольняє нерівність $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$.

Рівняння $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ на цьому проміжку має два розв’язки:

1) Якщо кут гострий:

2) Якщо кут тупий:

Обидва випадки можливі геометрично: вершина шуканого кута може лежати або на більшій дузі кола, стягуваній хордою $a$ (кут $45^{\circ }$), або на меншій дузі (кут $135^{\circ }$).

Відповідь:
$45^{\circ }$ або $135^{\circ }$.