Завдання № 12.20. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ відомо, що $AC=2\text{ см}$, $BC=\sqrt{2}\text{ см}$, $\angle A=30^{\circ }$. Знайдіть градусну міру кута $B$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів
За теоремою синусів для $△ABC$, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

Звідси виразимо $\sin \angle B$:

2. Обчислення значення $\sin \angle B$
Підставимо числові дані з умови ($AC=2\text{ см}$, $BC=\sqrt{2}\text{ см}$, $\angle A=30^{\circ }$ та табличне значення $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$):

3. Знаходження можливих значень кута $B$
Кут трикутника може приймати значення в інтервалі від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$. Рівняння $\sin \angle B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ на цьому інтервалі має два корені:

1) $\angle B=45^{\circ }$ (гострий кут);

2) $\angle B=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$ (тупий кут).

4. Геометрична перевірка існування розв’язків
Перевіримо, чи задовольняють обидва значення теорему про суму кутів трикутника та співвідношення між сторонами й кутами:

• Якщо $\angle B=45^{\circ }$: сума двох кутів $\angle A+\angle B=30^{\circ }+45^{\circ }=75^{\circ }<180^{\circ }$. Тоді $\angle C=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Оскільки $AC>BC$ ($2>\sqrt{2}$), то й протилежний кут $\angle B$ має бути більшим за $\angle A$ ($45^{\circ }>30^{\circ }$), що виконується.
• Якщо $\angle B=135^{\circ }$: сума кутів $\angle A+\angle B=30^{\circ }+135^{\circ }=165^{\circ }<180^{\circ }$. Тоді $\angle C=180^{\circ }-165^{\circ }=15^{\circ }$. Умова $AC>BC$ також узгоджується з нерівністю кутів: $\angle B>\angle A$ ($135^{\circ }>30^{\circ }$).

Отже, геометрично існують два трикутники, що відповідають початковим умовам (вершина $B$ може займати положення $B_1$ або $B_2$):

Відповідь:
$45^{\circ }$ або $135^{\circ }$.